误差与数据处理

1、1、对测量结果作出科学的评价； 2、指导研究者对测量提出合理的精度要求； 3、使计量结果得到公认、甚至可以作为法律依据； 4、满足机电一体化系统的要求； 5、科技工作者应该掌握的知识；,一、掌握误差理论的重要性,第一节 误差理论的基本概念 要点：测量、误差、精度、有效数字,主要内容,第二节 测量结果的评定和不确定度 要点 ：间接测量的不确定度的合成、间接测量的数据处理步骤 第三节 实验数据的常用处理方法及基本的测量方法 要点 ：列表法、作图法、逐差法、最小二乘法,一、误差理论的形成与发展,第一节 误差理论的基本概念,1.1测量的基本概述,一、概念,1、测量定义：为了取得被测对象的量值而进行的实

2、验称为测量。它是一个比较过程，即将被测量与体现测量单位的标准量进行相互比较。,比值 就是测量的结果，反映了被测量相对于某一测量标准在数字上的关系。,L为被测量，S为测量单位,二、测量方法及分类,1、直接测量：将被测量与作为测量标准的量直接进行比较，或用标定好了的仪器直接读取被测量数值大小。 例如：用米尺测长度、秒表测时间、天平秤质量、温度计测温度、电表测电压和电流、用频率计测量频率等。,（一）根据测量结果的获取方式划分,2、间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算获得的测量。,例如：测导线的电阻率 ，可通过测得该导线的长度L，直径d和电阻R，而后按下式 计算得到。 另外面积

3、、体积、密度的测量往往也用间接测量。间接测量的应用极广，当直接测量不很方便，甚至不可能实现时，或者直接测量的误差较大，或者缺乏直接测量的仪器时，常常要进行间接测量。,1.2 误差的基本概念,误差=测量结果-真值,被测量的测得值（测量结果）与被测量的真值之差。,一、误差的定义：,二、误差的来源,在测量过程中，误差产生的原因主要可归纳为：测量仪器、测量方法、测量环境、测量人员等几个方面的来源。 1、测量仪器误差：是标准器具、仪器仪表和辅助设备所产生误差的总和。也是实验中误差最重要的一类来源。为类误差可通过恰当的测量方法和正确的操作得到部分的控制。,2、环境误差 ：由于各种环境因素与规定的标准状态不

4、一致而引起的测量装置和被测量本身的变化所造成的误差。其消除的方法是改善测量环境。,4、人员误差：由于测量人员分辨力有限，因工作疲劳引起视觉感官的生理变化、反应速度及固有习惯引起的读数误差、精神上的因素产生的一时疏忽等原因造成的测量误差。 例如：用读数显微镜测量圆的直径。,5、测量对象变化误差：由于被测对象自身变化所产生的误差。,三、误差的分类,1、系统误差：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定不变系统误差；或在条件改变时，按一定规律变化的误差变化系统误差。,例如：零点不准，表盘偏心、刻度不均匀、标准量值的不准确、量具随温度变化等等。 说明： 1）系统误差按一定规律出现

5、，且总可归结为一个或几个因素的函数。如时间，温度等的函数。 2）系统误差具有重现性。只要测量条件相同，系统误差是可以重现的。 3）可修正性。系统误差的重现性，多次测量的平均值也不能减弱它的影响。但可通过“修正”的方法从测量结果中消除。,系统误差、随机误差、粗大误差,2、随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，以不可预知的方式变化。随机误差是测量结果减去对同一被测量进行无限多次处理结果的平均值（近似真值）。 例如：温度的波动、噪声的干扰、磁场的变化、电源电压的起伏、仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变形等引起的示值不稳定、千分尺测长度时的压力控

6、制等。,说明： 1）随机误差是由于某些难以控制的偶然因素产生的综合影响，也称偶然误差。 3）随机误差在大量的重复测量中将遵守一定的统计规律，增加测量次数可减小随机误差对测量结果的影响。 5）随机误差的主要特征：随机性、产生在测量过程中。 单次测量的随机误差没有规律，也不可预见，不能用实验的方法来消除。但是大量重复测量的结果遵循某种统计规律，因此可以采用概率统计的方法来处理含有随机误差的数据。,服从正态分布的随机误差具有如下性质：,在一定条件下，对某量进行测量时，随着测量次数的增加，测量数据的起伏会呈现一定的统计规律性。正态分布是最常见的随机变量或随机误差的分布规律。,3、粗大误差：又称“疏失误

7、差”或“寄生误差”，明显超出在规定条件下预期的误差。 特征：明显的歪曲测量结果。成因可归纳为测量条件突变或人为因素。,它们反映测量值与平均值之间的偏离程度，数值越小，偏离程度越小，彼此之间的离散程度越小，反之，离散程度越大。,三种误差的分布示意图：,误差的分类与鉴别,四、误差的表示方法,常用的误差表示方法有绝对误差法、相对误差法和引用误差法。,1、绝对误差： 被测量的测量值与其约定真值之差，简称误差。,绝对误差 = 测量值 约定真值,（1）一般所说的误差就是绝对误差。约定真值x0为国际公认的最高基准，用于近似表示真值，也称为标准值（实际值）.,（2）绝对误差具有确定的大小、单位和“+”、“-”

8、号组成。反映测量值偏离约定真值的大小与方向。误差的绝对值是误差值的模，在应用中，要分清绝对误差与误差的绝对值。系统误差、随机误差均可用绝对误差表示。,（3）对一般物理实验而言，若没有标准值，将用同等条件下多次测量的平均值近似为标准值。每个测量值的绝对误差可表示如下：,被测量的真值（标准值），通常是不知道的，若不知真值一般用有限测量值的平均值来近似表示真值。测量值的平均值是真值的最佳估计值，因此平均值也叫最佳值。,处理数据时常用的平均值有： 算术平均值：,均方根平均值：,例：某加工车间加工一批直径为50mm的轴，抽检两根轴的直径分别为49.9mm和49.8mm，两根轴的绝对误差为,式中，C为测量

9、结果的修正值，x0为系统误差，x0为标准值， 为多次测量的算术平均值，即测量结果。,修正值 = -系统误差 = 约定真值-测量值最佳估计值,约定真值（实际值）=修正值 + 测量值平均值,例：一个10g的三等标准砝码，经二等砝码计量检定得到误差为-0.002g，砝码的实际值（约定真值）为：,若是单次测量：,例：用某电压表测量电压，电压表的示值为226V，查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V，则修正后的结果为: 226+（-5）=221V,修正值应用说明： （A）在已修正结果中还存在系统误差，但能使测量结果的准确度更符合于实际，经过修正的测量值可以减小系统误差而更接近于真值。

10、（B）系统误差是不可能完全准确知道的，在一定条件下所能识别的系统误差估计值。 （C）修正值与误差的绝对值相等而符号相反，如果把修正值的符号弄反，那么加修正值后，不仅不能减小误差，反而会增大误差。,相对误差=绝对误差/真值,相对误差的应用说明： （1）相对误差是一个比值，其数值与被测量所取单位无关，因而是无名数（即无量纲数），通常用百分数“%”表示。,2、相对误差,（2）对于相同的被测量，绝对误差可以评定其测量精度的高低，对于不同被测量以及不同的物理量，采用相对误差来评定较为确切。 例：用电压表测得电压，用电流表测得电流值如下，试比较两测量结果精度的高低。,引用误差属于相对误差的一种，常用于仪表

11、的测量中，特别是对多档仪表的精度评定。在多档仪表中，其各档次、各刻度位置上所产生的测量误差都不相同，不宜使用绝对误差。引用误差的规定如下：,3、引用误差（仪器误差）,引用误差=示值误差/最大量程100%,常用的电工仪表的可测范围不是一个点，而是一个量程，各刻度点的读数和对应的真值都不一样，这时若按相对误差定义式计算相对误差，所引用的分母也不相同，不仅计算很麻烦，而且没有必要对同一仪表给出许多相对误差值来。采用引用误差减少了这一麻烦，且方便统一了仪表的准确度。,其中，最大量程是指仪表的最大刻度数、示值误差是指仪表指示出的数值的绝对误差。引用误差的大小规定用仪表的精度等级表示。如精度等级为0.2的

12、电表，其最大允许的引用误差就是0.2%。,例: 分别用同一电表的100档和200档测量同一电压80伏特，电表的等级为1.5级。试问：用电表的那一档测量误差更小？若用100档来测量5伏特电压又如何？,解：等级为1.5的电表的最大充许引用误差为1.5%。依据以上的公式 示值误差=量程引用误差 可以分别计算出两档的示值误差大小 100档时： 误差=1001.5%=1.5V 200档时： 误差=2001.5%=3.0V,显然，用100档来测量时，其误差要小得多。若用100档来测量5伏特的电压，误差也是1.5V。此时的相对误差就高达1.5/5=30%。此例说明，在用有等级度的仪器来测量时，应尽可能地使仪

13、器指针在满刻度周围。,1.3 有效数字与数据运算,有效数字“可靠数字”“一位估计数”,一、在效数字的定义 实验数据是通过测量到的，读出的数字位数反映了实验仪器的精度，不能随意增减。,可靠数字：一般直接从测量仪器上准确读出。 一位估计数（可疑数）：误差产生位。,1.65cm,关于有效数的说明：,x= 0.112 0.1 ； x = 0.5350 0.6 r= 1.25 % 1.3% 1% ； r= 12.52 % 13%,2.00cm,1、直接测量量的有效数字,（1） 有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。 （2） 数字显示仪表：显示值最后位为估读位。,（3）绝对误差一般只取一位有效数字，

14、也是估读所在位；相对误差一般取一至二位有效数字。,例：判断下列数据有效数字位数： 15.86； 5.320； 0.0532； 5.32。,一般比直接测量结果的有效数字多取12位。 例： 测圆的面积：S=r2 直接测量量r：4.5678m,4.5672m,4.5679m 五位有效数字 中间结果r平均值：4.567625m 七位有效数字 常数：3.141593 七位有效数字,2、中间结果和常数的有效数字,注意：数字中和尾的零都属于有效位数。,二、有效数字的运算规则 1、运算规则概述： （1）可靠数字与可靠数字相运算，其结果为可靠数字； （2）可靠数字与可疑数字或可疑数字与可疑数字相运算，其结果为可

15、疑数字； （3）运算中遇到一些常数，需要几位就取几位； （4）可疑数字一般取一位。,3、乘除与开方运算规则,以有效数字位数最少的为准，其余数据在中间运算过程中可比位数最少的数据多取一位数字，而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。,例： 39.54.084370.0013 =39.54.080.0013=0.209508=0.21,解：先计算误差大小：,再计算,最后的计算结果为：,三角函数运算中，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，其对应关系如下表所示：,在不知x误差大小的情况下又如何计算呢？方法是取自变量有效数字的最未位的一个单位来计算。请看下例。 例2： 计算y=lnx=ln(45.

16、32)。 解：先利用有效数字45.32来间接估计y的误差的大小。方法是取45.32的最末一位，即2所在位（小数点后二位）的一个单位0.01来计算y的误差大小。,说明计算结果应保留到小数点后第四位。,返回,由于测量误差的存在，使的测量结果带有不确定性。在报告测量结果时，必须对测量结果的质量给出定量说明。 测量不确定度就是定量评定测量结果质量的一个重要指标。,用测量不确定度定量表示测量结果质量是一个较新的概念。,1963年，美国标准局（NBS）的埃森哈特（Eisenhart）在仪器校准系统的精密度与准确度估计一文中，提出合成不确定度的建议。,1980年，国际计量局（BIPM）在征求各国意见的基础上

17、，提出了测量不确定表示建议书INC-1（1980）。,1986年，国际标准化组织（ISO）等7个国际组织组成的国际不确定度工作组制定了测量不确定度表示指南，简称“指南GUM”，于1993年由ISO颁布实施。,第二节 测量结果的评定和不确定度,1、精密度：用来描述测量结果中随机误差的影响（大小）程度，即在一定条件下，进行多次重复测量时，各测量值之间的接近程度，它反映随机误差的大小。,2、准（正）确度：用来描述测量结果中系统误差的大小程度。表示测量结果与被测量真值之间的接近程度。,一、测量的精度,3、精确度（精度）：测量结果中，系统误差与随机误差的综合，即精密精确程度。它表示对同一被测量进行重复测

18、量时，所有测量值与真值的接近程度和各测量值之间的接近程度。,2.1 不确定度及其分类,由于在实际中，任何测量结果都不可能没有误差（即测得值并非实际的真实值），因此应有一种指标来衡量测量结果的真实可信与否。测量的精确度就表示一测量结果与真实值的相近程度。精确度越高，说明测量结果越好，越接近实际值。,对具体的实验或测量来，精密度高的准（正）确度不一定高；准（正）确度高的精确的也不一定高；精确度高则精密度与准（正）确定都高。一般希望得到精确度高的实验结果。,例如：用射击打靶来描述三者之间的区别。,二、不确定度的含义,精密度、准（正）确度、精确度是与误差相 联系的，只不过准确度是反映测量结果与真值的一

19、致程度，即测量结果向真值靠近的程度；而不确定度则是描述测量结果离开真值的程度，是指测量结果变化的不肯定程度，从统计概率上理解，表征被测量的真值所处范围的一个估计值，以表示被测量分散性的一个参数。其中包含了各种不同的来源误差，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，更准确地表述了测量结果的可靠性。,1、不确定度表示：,不确定度一般由若干个分量组成，也称为合成不确定度。一般分为两类，即A类分量和B类分量。完整的测量结果表达中，必须包括合成不确定度。,标准差（均方根）也就是测量值xi的不确定度，描述正态分布曲线的形状，是恒正值。,如合成不确定度只考虑统计不确定度（A类），如图所示表示了测量值x

20、i可靠性。,、 2 越大，分布曲线的峰值就越低，图形的形状就越“胖”，分布曲线越平缓，离散程度越大；反之、 2越小，分布曲线的峰值越高，图形的形状越“瘦” ，分布曲线越陡峭，离散程度越小。 不确定度用表示的几何意义：描述测量值相对最佳估计值分散的程度，即误差分布曲线的宽窄。,2、不确定度的几何意义：,（1）不确定度恒为正，可用标准差表示。而测量误差则可正可负，其值为测量结果减去被测量的真值。,（2）不确定度表示测量值的分散性。误差表明测量结果偏离真值的大小及方向（ 残差）。,3、误差与不确定度既有区别，又有联系。 误差理论是估算不确定度的基础，研究不确定度首先要研究误差，不确定度是误差理论的补

21、充。,（3）不确定度可由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以定量确定。由于真值未知，测量误差往往不能准确得到，只能得到误差的估计值。,二、测量结果的表示和合成不确定度,三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。,（单位）,x为待测量；,是测量的近似真实值；,：是合成不确定度，一般保留一位有效数字； ：相对不确定度 ，一般保留一、二位有 效数。,测量结果表达式的所示范围 ，表示待测量的真值在 范围之间的概率为68.3, 不要错误认为真值一定就落在 之间、误差在 之间。从统计学的角度来看，给出范围 ，它表示待测量的真值在 范围之间的概率为99.73,三、合成不确定度的两类分量的处理,每次测

22、量值的残差：,在相同条件下对某量进行重复测量，得到的n个测量值x1, x2, xn可看作n个同分布的独立随机变量X1, X2, Xn的一次取值。由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后测量结果。即等精度测量的算术平均值及标准差,一、以算术平均值代表测量结果,当n趋于无穷时，算术平均值趋于真值。有限次测量值的算术平均值就是真值的最佳估计值。平均值只是减小了随机误差的影响而没有减小系统误差的作用,2.2 直接测量结果的不确定度的计算,二、测量结果的随机误差的计算,测量列的标准差Si：对某一物理量在同等精度下进行n了次测量，测量列中的标准差是表征n次测量结果的分散性参数

23、，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。,解：算术平均值为,标准差为：,例4：对某量进行6次测量，测量数据如下（单位mm）：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46求算术平均值及标准误差。,三、测量结果的不确定度的计算,其中：,3、相对不确定度表示为：,2.3 间接测量结果的合成不确定度,待测量y与各直接测量值x1 , x2 ，x n 之间有函数关系,对函数式求微分得：,间接测量的近似真实值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之间

24、的关系式称为误差的传递公式。,间接测量的误差传递：,各直接观测量的测量结果分别为,将各个直接测量量的近似真实值（平均值）代入函数表达式，即可得到间接测量的近似真实值。,如果各直接测量微小量dxi用各量的不确定量i代替，得到间接测量结果的合成不确定度计算公式,间接测量的相对不确定度,例： 用弓高弦长法测圆弧的半径R，如图。直接测得弦长S=360 mm，弓高H=30mm，测量中系统误差为s =-0.5mm, H=0.1mm，写出圆弧的半径R 的测量结果。,解：该实验为单次间接测量，因已知系统误差，需对测量结果进行修理。,测量值可得 ：,对半径R进行修正,代入数据,返回,又因为,实验结果：,测量不确

25、定度的处理：由传递公式,第三节 实验数据处理常用方法及基本测量方法,一、 列表法,列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。,1. 列表法的特点 （1）记录和表示数据简单明了； （2）便于表示物理量之间对应关系； （3）便于随时检查数据是否合理，及早发现问题，提高数据处理效率等。,2. 列表的要求 （1）栏目清楚，项目分明。 （2）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。 （3）表中所列数据应是正确反映测量结果的有效数字。 （4）注明测量日期、说明和必要的实验条件。,3. 列表举例,表1 伏安法测100电阻数据表 2004/2/10,注： （1）电压表量程 7.5V，精

26、度等级 1.0。 （2）电流表量程 50mA，精度等级 1.0。 （3）常温常压条件下测量。 （4）采用电流表外接法。,作图法是将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种最常用的粗略的数据处理方法。 1. 作图法的优点 （1）能够直观地反映各物理量之间的变化规律，帮助找出合适的经验公式。,（2）可从图上用外延、内插方法求得实验点以外的其它点。 （3）可以消除某些恒定系统误差。 （4）有取平均、减小随机误差对结果的影响的作用。,二、 作图法,（1）根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。 （2）正确选择坐标轴的比例和标度。 （3）注明图名，坐标轴代表的物理量、单位和数值的数量级。 （4）测量数据点应采用比较明显的标志符号，如“、”等，不能用“” 。 （5）变化规律容易判断的曲线平滑连线，曲线不必通过每个实验点，但应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的曲线可以用折线连接。,2. 作图要求,由误差理论可知，算术平均值接近真值，在实验中应尽量实现多次测量。但有些实验如果简单地取各次测量的平均值，并不能达到预期的效果。,三、逐差法,例2：拉伸法测钢丝的倔强系数：,如每次增加法码