（应用数理统计）单因素方差分析

1、应用数理统计基础,方差分析,例1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差 。现用三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。,试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？,1.引例,例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？,类似问题,高等数学、线性代数、数理统计等许多基础课实行选课制，,如何认定主讲教师对学生成绩有一定影响？,假定：张老师的学生平均72.5,李老师的学生平均成绩71.8,王老师的学生平均成

2、绩70.9,能否说明三位老师的教学水平有差异?,根据假设检验的原理，即检验,解决此类问题：1是重复检验，2是方差分析,在实践中，,人们总是要通过试验，观察各种因素的影响，例如，,不同型号的机器，不同的原材料、不同的技术人员,以及不同的操作方法等等，对产品的产量、性能都会有,影响。当然，有的因素影响大，有的因素影响小，,有的因素可以控制，有的因素不能控制。如果从多种,可控制因素中找出主要因素，通过对主要因素的控制，调整，提高产品的产量、性能，这是人们所希望的，解决这个问题的有效方法之一就是方差分析。,影响一个事物的因素往往是很多的，,前面提到的产品的产量、性能等称为试验指标，,他们受因素的影响，

3、因素的不同状态称为水平，一个因素,可采取多个水平。,通过观察可以得到试验指标的数据，这些数据可以看成,从不同的总体中得到的样本数值。,统计学上，不同的因素，不同的水平可以看作是不同的总体。,二、统计分析,一 、总平方和的分解,单因素试验的方差分析,设在试验中，因素A有S个不同水平,在水平下的试验结果,其中 和 是未知参数。在水平 下作 次独立实验，其结果如表1所示。,数学模型,1 2 3,样本均值,序号,样,本,水平,是来自总体 的容量为 的 一个 样本，其观察值为,(1),由于 相互独立，且,若记,则,且相互独立,要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要 判断各正态总体的均值是否相等，即

4、检验假设,(2),其中 与 均为未知参数。 式（2）称为单因素方差分析的数学模型。,则是各水平下总体均值的加权平均，称为总平均值；,代表了第j水平下的总体均值与平均值的差异，这个差异称为 的效应，,(4),由式(2),(3)可以得到单因素方差分析的等价数学模型,它满足,(3),再令,式(5)表明：样本由总平均值 因素的水平效应 随机误差三部分叠加而成。 因而式(5)也称为线性可加模型。,(5),方差分析的任务：,检验线性统计模型（1.1）中的s个总体,检验此假设的问题就是方差分析,1. 总平方和的分解,样本总平均,A1（X1）,A2（X2）,A3,A4（X4）,总离差平方和为,全部数据与总平均

5、之间的差异，又叫总变差,交叉项为0，因为,总离差平方和分解为,（组内离差）,（组间离差）,反映Ai水平下的子样均值与样本值之间的差异，,则有总平方和的分解,反映 Ai水平下的子样均值与总平均值之间的差异，,叫水平Ai效应的平方和,它是由随机误差引起的，叫误差平方和,SE, SA的统计特性,SA的自由度为S-1,F 分布的分位点回顾,对于给定的正数,称满足条件,的点,为,分位点。,分布的上,查出,给定,即认为因素对试验结果无显著影响。,一元方差分析表,为了计算的方便，常采用下面的简便计算方式，记,例2,设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。

6、试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？(=0.01),解,分别以 表示不同品种玉米平均产量总体的均值，按题意需检验假设,品种,地块,产量,1 32.3 33.3 30.8 29.3,172.1 173.9 168.5 141.9 656.4,5 36.5 34.5 35.8 28.8,4 35.0 36.8 32.3 28.0,3 34.3 36.3 35.3 29.8,2 34.0 33.0 34.3 26.0,5923.682 6048.242 5678.45 4027.122 21677.50,29618.41 30241.21 28392.25 20135.61,5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22,表3,注意到,可得方差分析表,表4,方差来源,误差E,因素A,总和,均 方,自由度,平方和,显著性,F 比,当 时，,由F分布表可查得,由于,故拒绝,即认为,这四个品种对玉米平均产量的影响高度显著。,3,19,16,由上面讨论，可得未知参数,的估计,是 的无偏估计。,4.未知参数的估计,如果检验结果为拒绝 ，,即,不全相等。,有时需要对第j个水平及第k个水平均值差 作出区间估计。,为此，我们可以取,作为 的点估计，,注意到,又,是 的无偏估计，,而,可以证明 与 相互独立。,的置信