角平分线的性质赛教.ppt

1、角平分线的性质,第一课时,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,则折痕OC平分AOB,（对折）,情境问题,1、如图，是一个角平分仪，其中OM=ON, CM=CN。 将点O放在角的顶点,OM和ON沿着角的两边放下,沿OC画一条射线OE,OE就是角平分线，你能说明它的道理吗?,情境问题,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板没法折的角，又该怎么办呢？,2、证明： 在OMC和ONC中 OM=ON（已知） CM=CN（已知） OC=OC（公共边） OMC ONC（SSS） MOC=NOC（全等三角形的 对应边相等） OC平分MON（角平分线的定义）,分别以，为圆心大于 的长为

2、半径画弧两弧在AOB的内部交于,如何用尺规作角的平分线？,A,以为圆心，适当长为半径画弧，交于，交于,作射线OC,则射线即为所求,M,N,E,C,作法,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB,1平分平角AOB 2通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),探究角平

3、分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角平分线上的点到角两边的距离,相等,？,证明几何命题的一般步骤： 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD

4、=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE,探究角平分线的性质,(3)验证猜想,命题：角平分线上的点到角两边的距离相等。,角平分线的性质,定理：角平分线上的点到角两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2, OC平分 AOB PD OA ，PE OB PD=PE (角平分线上的点到角两边的距离相等),推理的理由有三个，必须写全，不能少了任何一个。,C, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),角平分线上的点到角两边的距离相等。,BD CD,（）,1.判断,O,A,B,E,D,2.

5、思考：,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,C,P,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等。, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,角平分线上的点到角两边的距离相等。,不必再证全等,3.判断,4.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,你会吗？,如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,巩固提高,2:如图所示， ABC中，AB=AC，

6、M为BC中点，MDAB于D，MEAC于E。求证：MD=ME。,思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）,小结:,1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达),及画一条已知直线的垂线；,2：角平分线的性质：,角平分线上的点到角两边的距离相等 3：角平分线的性质的应用,作业：课本第51页 习题1 2 4 5,真诚地感谢你们！ 再见!,例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、

7、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼！,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,利用结论，解决问题,练一练 1、