金融数学 第二章 均值-方差资产选择模型

1、1.均值-方差准则，第2章均值-方差资产选择模型，投资组合理论概述，最优投资组合系数，最小方差集，2。第二章均值-方差资产选择模型，第一节均值-方差准则，均值-方差准则，假设投资者规避风险，在期望收益率相同的许多投资机会中，他们总是选择收益率方差最小的投资机会。或者在各种收益率差异相同的投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会。M-V准则，3，第2章，均值方差资产选择模型，M-LPV准则，4，期望方差准则在某些条件下等价于随机优势准则。M-V准则与SSD准则之间的等价关系，均值-方差准则与随机优势准则之间的关系，证明、第2章均值-方差资产选择模型、第5章，也就是说，因此有、第2章均值-方差

2、资产选择模型、第7、第2章均值-方差资产选择模型、第9、第9章、定理2.2M-LPV与TSD准则之间的等价关系，对于绝对风险厌恶投资者，M-LPV准则等价于TSD准则。稍微证明一下。值得注意的是，均值-方差准则的基本思想是将投资收益的方差作为投资风险的度量，这是大多数主流经济学家都认可的。因此，在本书的后续章节中，将采用这种方法。10，第二节是投资组合理论概述，第二章是均值-方差资产选择模型，投资组合向量，11，第二章是均值-方差资产选择模型，解，因此，这种投资的投资组合向量是，12。第二章，均值方差资产选择模型，投资组合收益预期和方差、13。第二章，均值方差资产选择模型，投资组合的预期收益率

3、介于两种证券之间，但风险低于两种证券。这个简单的例子也解释了为什么“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。14，第2章均值方差资产选择模型、市场投资组合和市场投资组合的概念是由Fama于1968年提出的，它指的是包括市场中每种证券的总投资组合，其中每种证券的投资组合权重等于市场交易中未结算部分证券的价值与市场中所有证券的总价值之比。从理论上讲，市场投资组合是风险证券的理想组合，每个“高度理性”的投资者都持有一定比例的风险证券。如果假设股票市场只由a股和b股组成，而a股和b股的均衡市场价格分别为400万美元和600万美元，显然任何“高度理性”的投资者都会以2: 3的比例投资a股和b股。市场投资组合

4、在理论上是一个抽象的概念，在现实生活中并不存在。通常的做法是选择一些覆盖面大的股票价格指数来代表它。如标准普尔500指数和道琼斯价格指数。15，第二章均值方差资产选择模型，投资组合线，两种证券的投资组合线，16，第二章均值方差资产选择模型，可以得到、以下是一些特殊情况，投资组合是双曲型的。17，第二章是均值方差资产选择模型，也就是说，更进一步，在坐标系中，它是直线，这是从向右的一点发射的两条光线，斜率为。，18，第二章均值方差资产选择模型，和，19，第二章均值方差资产选择模型，20，第二章均值方差资产选择模型，从图中，至少可以得出两个结论：(1)投资组合线经过A点和B点，以及，21，第二章均值

5、方差资产选择模型，22，第二章均值方差资产选择模型，包括投资组合的收益率is，以及相应的收益率预期和方差is，即代入预期收益率方程，投资组合线为，23。第2章均值方差资产选择模型，投资组合线是一条射线，如图，O，B，24，第2章均值方差资产选择模型，投资组合线的两种以上的证券，25，第2章均值方差资产选择模型，第二章是均值方差资产选择模型。多元化投资是投资者有选择地将资金投入许多低相关性(高回报、低风险)的高质量证券的一种投资方式。在第二章均值方差资产选择模型中，从理论上讲，只要证券种类非常多，投资组合的风险就可以完全消除。然而，事实并非如此。根据许多人的实验，美国学者霍姆绘制了一条曲线，反映

6、了投资组合风险和它所包含的证券类型之间的关系，如图所示。投资组合风险系统性风险非系统性风险随着证券数量的增加，非系统性风险可以逐渐减少甚至消除，但系统性风险无法消除。作为许多实验的结果，人们普遍认为一个好的组合应该包含至少10种证券，其中15种是最好的。28，第2章，均值方差资产选择模型，第3节，最优投资组合系数，背景知识，问题：要求在不考虑回报的情况下最小化投资组合的风险，即解决风险最小的投资组合向量问题(最优投资组合)。第二章，均值方差资产选择模型，建模和求解最优组合系数，这是一个条件极值问题，可以用拉格朗日方法求解。构造拉格朗日函数：可以得到，求解，然后，30，第2章平均方差资产选择模型

7、，通过，即，31，第2章平均方差资产选择模型，投资组合收益的协方差矩阵是，解，因此，最优投资组合系数是，并且相应的投资组合收益的标准差是，32，第2章平均方差资产选择模型。投资组合的风险不可能无限期降低。它有一个下限。据此，可以得出以下推论。第二章，均值方差资产选择模型，非卖空条件下的最优投资组合系数，非卖空条件下的最优投资组合系数的求解模型如下，并讨论了N=2的情况。34。第二章，均值方差资产选择模型，因为，它是必要的，它可以在三种情况下一起讨论：35，第二章，均值方差资产选择模型，其中投资组合收益率的标准差是以风险较低的证券(证券2)的标准差为下限。36，第二章均值方差资产选择模型，相应的

8、投资组合最小风险是，综合(1)、(2)和(3)讨论，当N=2时，最优投资组合系数是，37，第二章均值方差资产选择模型，第四节最小方差集，考察在给定收益和给定方差下具有最小方差的投资组合，有，最小方差集的推导，最小方差集的定义，最小方差集的建模与求解，38，第二章，均值方差资产选择模型，构造拉格朗日函数，并根据拉格朗日条件极值定理求解公式(2)。从公式(3)和(4)，我们可以看到公式(5)被代入公式(6) 39。第二章均值方差资产选择模型，最小方差集的性质，第二章均值方差资产选择模型，我们发现抛物线顶点G点以上的部分是公式(1)对偶问题的解：当给定一定的方差水平时，在对应于这个方差水平的许多投资

9、组合中，有一个投资组合具有最大的期望收益率，我们通常称之为有效投资组合。最小方差集中方差最小的组合称为绝对最小方差组合，即图中的G点。在g点很容易得到证明。因此，在第二章均值方差资产选择模型中，属性3(两个基金定理)中每个有效组合的系数向量可以表示为其他两个具有不同均值的有效组合的系数向量的线性组合。证明了有效组合系数向量可以表示为，假设B矩阵显然是一个常数矩阵。在第二章，均值方差资产选择模型中，双基金定理的重要性在于，只要找到两个有效组合，就可以找到所有的有效组合。(3)利用双基金定理，找出所有有效的组合；43.第二章，均值方差资产选择模型，包含无风险资产的有效组合。曲线段GSL是原始风险资

10、产组合的最小方差集的上半部分，G点代表绝对最小方差组合。因此，新的有效投资组合曲线由三部分组成。第二章是均值方差资产选择模型。因此，具有无风险资产的有效投资组合的平均值表达式为，其中点S和L的坐标由下式给出，45。第二章是均值方差资产选择模型。考虑到一个特殊情况，即贷款利率与存款利率相同，那么上面图中的S点和L点重合，此时有效。直线型投资组合被称为资本市场线(CML)，它的等式是：M点是我们前面提到的市场投资组合，它是在市场上所有具有相同的利润-风险权衡关系的投资者的选择的基础上综合起来的，或者投资者持有的风险证券的投资组合系数都是相同的，当然，市场投资组合也是一个有效的投资组合。在资本市场，投资者只面临两种投资机会：无风险资产投资和市场组合投资。如果投资者极度厌恶风险，他可以存很多钱，但对市场投资组合的投资很少(注意组合系数保持不变)，也就是说，点A沿直线向左下移动；如果他的风险厌恶相对较小，那么他可以选择更多地投资于市场投资组合，减少存款，也就是说，A点沿着直线向上移动；如果投资