金融计算与建模(下)(清华大学朱世武)

1、第13章 随机模拟基础,清华大学经管学院 朱世武 Z Resdat样本数据： SAS论坛： ,分布的模拟实现,中心极限定理（对于和）： 假设X1,Xn独立同分布，均值和标准差分别为和。 令 ， 如果n足够大（比如，n大于30），则Sn近似地服从 正态分布，均值为n，方差为 。 中心极限定理（对于均值）： 假设X1,Xn独立同分布，均值和标准差分别为和。 令 ，如果n足够大（比如，n大于30），则 近似地服 从正态分布，均值为，方差为 。 中心极限定理表明，满足一定条件的独立同分布随机变量的和或均值将服从正态分布，而与它们的分布情况无关。下面分别给出中心极限定理的模拟实现结果。,随机变量和的分布

2、模拟,例13.1 假设掷骰子n次，分别用X1,Xn表示每次得到的数值。令，则Sn近似于正态分布。分别用SAS系统实现n=2和n=3的模拟分布图。,n=2的模拟分布图。 data a; do x1=1 to 6; do x2=1 to 6; output; end; end; /*模拟掷骰子两次，生成36行数据*/ data a; set a; x=sum(x1,x2); proc univariate data=a noprint; var x; histogram/normal (mu=est sigma=est); run;,N=2,N=3,例13.2 二项分布是二点分布的和。所以，直接作

3、二项分布的分布图也就是也就是对二点分布和的模拟。设二项分布的p=0.8，分别作N=10, 20, 25, 50, 100, 200, 1000时的分布图。,直接求概率后画图。,%macro a(n); /*建立一个以n为参数的宏*/ data rv; do m= 1 to ,symbol1 i=needle width=6 c=blue h=1 cells; /*规定两点之间的插值方法、线条宽度、数据点符号的高度及颜色，注意这里使用了symbol1*/ proc gplot data=rv; plot probb*m=1; %mend a; %a(10); %a(15); %a(20); %a

4、(25); %a(50); %a(100); %a(200); %a(1000); run;,模拟二项分布随机数的分布图。（设二项分布的p=0.8，分布模拟N=10, 20, 25, 50, 100, 200, 1000时随机数的分布图。）,symbol; goptions ftext= ctext= htext=; %macro a(n); data rv; retain _seed_ 0; do _i_ = 1 to ,%mend a; %a(10); %a(15); %a(20); %a(25); %a(50); %a(100); %a(200); %a(1000); run;,前面所有

5、模拟结果表明，随机n的增大，和的分布越来越接近正态分布。事实上，直观分析就可以得出离散的随机变量都有这样的特性，如上面掷骰子、二项分布等。当然中心极限定理保证连续分布也有这样的性质。,随机变量均值的分布模拟,例13.4 对于 =6的指数分布，分别模拟出N=1, 10, 20, 50, 100, 200, 1000. 时，均值的分布 。,统计抽样中的分布模拟,例13.5 设总体为 =6指数分布的100个随机数。设样本容量为80, 进行n次抽样，分别用 表示第1次, 第n次抽得的随机数。 ，模拟 和 的分布。 对于求和 ，随机抽取的次数分别为n=5, 10, 20, 50, 100, 200, 1

6、000.,symbol; goptions ftext= ctext= htext=; options nodate nonotes nosource; data rv; /*创建由100个随机数构成的总体*/ retain _seed_ 0; do _i_ = 1 to 100; exp = ranexp(_seed_)/6; output; end; drop _seed_ _i_; data rv80; /*从总体中选择80个作为样本*/ delete;,%macro b(y); %do i=1 %to %eval(,data random; set tmp(obs =80); /*取前

7、80个*/ drop _ran_; rename exp=exp,%b(5); %b(10); %b(20); %b(50); %b(100); %b(200); %b(1000); run;,样本均值的分布模拟。 准备数据集：产生100个指数分布的随机数。每次随机抽取的次数分别为 n=5, 10, 20, 50和80, 抽取180次样进行模拟。,产生100个指数分布的随机数。,symbol; goptions ftext= ctext= htext=; options nodate nonotes nosource; data rv; retain _seed_ 0; do _i_ = 1

8、to 100; exp = ranexp(_seed_)/6; output; end; drop _seed_ _i_; run;,样本容量分别为5, 10, 20, 50和80, 抽180次样。的分布模拟。,symbol; goptions ftext= ctext= htext=; options nodate nonotes nosource; %macro b(y,z); data rv,proc means data=random noprint; var exp; output out=b mean= exp_m; data rv,例中，采用了不同于前面的横向加总方法（用到了PR

9、OC MEANS纵向计算均值），并在分别计算EXP_M的基础上用SET语句汇总了每次循环所得的180个数值，最后进行模拟,收益模型模拟,随机游动模型,例13.7 价格随机游动模型 , 的模拟实现。 假设模型为 ， 初值P1=8.6。,data a; mu=0; p1=8.6; sigma=1; do time=-50 to 1000; e=rannor(32585); /*注意到，此处rannor随机函数的种子为一个特定的数值，这是每次运行，生成的随机数列是相同的，而如果写成rannor(0)，那么每次重新运行，生成的随机数列也不尽相同*/ p=mu+p1+sigma*e; if time0

10、then output; /*实际上是去掉最开始的51个数据*/ p1=p; /*保证了循环的进行*/ end; run;,随机序列时序图： proc gplot data=a; symbol1 v=point i=join c=blue; /*规定符号样式、插值方法、线条颜色*/ symbol2 v=none i=r ; /*i=r规定生成一条一次的回归曲线（直线）*/ plot p*time=1 p*time=2/overlay; /*在一张图中产生两条曲线，分别使用样式1和样式2*/ run;,例13.8 收益率游动随机模型 , 模拟实现。假设模型 , ，初值p1=-0.02。,异方差模

11、型,例13.9 异方差模型 , 模拟实现。假 设异方差时间序列 , ，方差由1变到4，初值p1=-0.02。,13.2.3 ARIMA模型,例13.10 ARIMA（0,1,1）的模拟实现。产生1000个来自 的随机数序列。假定初值r1=-0.01。,GARCH模型,例13.11 Garch(1,1) 的模拟实现。假设模型为：,进一步具体假设为：,应用案例,避险与不避险,DT是费城一家生产电脑硬件的公司。1997年，DT的收入为21亿美元，净利润为367百万美元。收入分地区分类账目如表13.1。,表13.1 1997年DT世界各地区收入,因为公司50的收入都是在外国挣得的，公司现金流的很大部分

12、是外汇。而公司的科研经费使用美元支付的。如果美元疲软，那么公司收入增加；反之公司收入减少。 1997年底，公司内部的经理人员都认为1998年马克和英镑有坚挺的可能。DT的CEO Jonathan Calbert 决定运用外汇看跌期权来降低公司收入的汇率波动风险。,外汇看跌期权,1997年，DT有645百万马克的收入，汇率为0.6513时合420百万美元。如果美元坚挺，那么公司在德国的收入将减少。 DT通过购买马克看跌期权可以避免美元未来强硬的损失，一份马克看跌期权是在未来某一日在某一给定汇率卖出马克的权利。,也可以写成,假设即期汇率为0.6513US/DM，投资者购买一份看跌期权，到期日为一年

13、后。执行价格为 。 如果一年后马克贬值，汇率下跌到DM=0.60，那么期权将被执行，,如果一年后马克贬值为DM=0.64，那么期权不会被执行，,一个马克汇率模型： 表13.2是1989年到1997年9年间马克平均汇率，表13.2最后一列是马克汇率对前一年的相对百分比变化率。,表13.2 1989年到1997年9年间马克平均汇率及其相对变化率,一个马克汇率预测模型 ： 马克汇率相对变化率（百分比），如下： 利用表中最后一列数据得到马克汇率相对变化率的均值和标准差分别为3.92和9.01。记未来一年马克汇率的相对变化率为 。事实证明，用0作为均值而不用历史数据效果更好，而标准差用历史数据则相当精确

14、。因此，假设 。马克即期汇率为0.6513US/DM。下一年马克汇率的计算公式为：,一个英镑汇率预测模型 假设英镑汇率相对变化率 。英镑即期汇率为 1.234 US/BP，则下一年英镑汇率的预测值为： 另外，从历史数据看，马克和英镑之间的相关系数为：,避险收益,首先讨论DT公司对马克汇率的避险问题。 DT营销部的预测1998年公司的德国收入与1997年持平，即为645百万马克的收入。如果不采用期权避险，DT下年的德国收入合美元：,其中，DM的变化 服从正态 。,如果购买 （百万）的看跌期权，那么下年的美元收入为：,从而有下面的公式：,例如，DT购买 500百万份看跌期权，执行价为 ， 成本 ，

15、一年后到期。马克即期汇率为0.6513US/DM。如果下年汇率改变23.23%。即随机变量 的观测值为 -23.23%。如果不避险，DT1998 德国收入为:,如果DT购买,500百万的看跌期权，那么1998年的收入为：,注意，尽管汇率下降23.23%。收入只下降10.6%(从420百万美元到375.650百万美元)。,避险问题,Bill Joyce决定把重点放在使下年的收入低于$706百万美元的概率最小上。,表13.3 一年期，DM汇率的9种不同看跌期权的执行价格和成本,表13.4 一年期，BP汇率的9种不同看跌期权的执行价格和成本,模拟任务： 建立一个模拟模型，帮助Bill Joyce选择

16、使得马克与英镑汇率波动风险最小化的期权避险策略。 (b) 假设DT购买500百万马克看跌其权与500百万英镑看跌期权。对表13.3和表13.4中每一种可能的组合，利用模拟模型估计英国和德国收入不低于706百万美元的可能性。哪一种组合的可能性最大？这个组合下，下一年收入的均值与标准差是多少？你认为DT应该购买这些期权吗？ (c) 改变DT公司购买的期权数 与 。有可能增加可能性。利用 100, 300,500与 100, 300, 500的各种组合重新运行模拟模型。有没有组合使得可能性变大？,基于SAS的计算,计算收益的公式： 根据案例中给出的分析，在1998年的德国马克和英镑收入预计与1997

17、相同(公司营销部门的预测)。据此，可以构建出德国马克和英镑的对冲模型：,如果根据上述模型产生RDM和RBP的随机序列，那么就可以模拟出1年之后公司外汇收入的可能情况，并可计算公司的外汇收入风险。 由于公司制定的政策是在一年后，公司的外汇收入(马克和英镑)，少于7.06亿美元的可能性最小化。因此，在上述模型中，公司财务部门面临的问题就是要对德国马克和英镑分别选择最优的(n, k, c)，(分别代表期权数量，期权的执行价格和期权费)，达到公司已经制定的风险最小化目标。 利用SAS中的VNORMAL子程序产生RDM和RBP的随机序列，就可以模拟出1年之后公司外汇收入的可能情况，并可计算公司的外汇收入

18、风险。和分别表示马克和英镑期权的数量。,/*产生RDM,RBP联合分布的1000个随机数随机数*/ proc iml; cov1=0.09,0.11; cov2=t(cov1); /*转置*/ cov3=1 0.675,0.675 1; /*生成22矩阵*/ cov=(cov1*cov2)#cov3; /*矩阵相乘*/ free cov1 cov2 cov3; /*释放cov1、cov2、cov3*/ mu=0,0; call vnormal(et, mu, cov, 1000); /*生成二维正态随机序列et，均值向是为mu， 协方差阵为、cov*/ colname1=dm/bp; /* 写

19、成colname1=dm,bp;也可以*/ create a from et colname=colname1; append from et; /*向数据集a中添加观测值*/ run; quit; /*检验协方差矩阵*/ proc corr data=a; var dm bp; run;,CORR 过程 2 变量: dm bp 简单统计量 变量 N 均值 标准偏差 总和 最小值 最大值 dm 1000 -0.00414 0.09066 -4.14352 -0.28265 0.32231 bp 1000 -0.00462 0.11396 -4.61872 -0.36980 0.39767 Pe

20、arson 相关系数, N = 1000 当 H0: Rho=0 时，Prob |r| dm bp dm 1.00000 0.66957 .0001 bp 0.66957 1.00000 .0001,(b)在(a)中的模型中，取 ，然后分别选取马克和英镑执行价格 的组合，期权费 与 是相互对应的，选择了 ，那么 同时确定了。因此，只要在选取不同的 后，分别计算在各个组合下，外汇收入大于7.06亿美元的概率。,首先把 和 都固定成500百万美元， 利用SAS/IML的VNORMAL子程序产生 联合分布的1000个随机数。由此，可以对不同的期权组合模拟1000次，并给出在各个 组合下，外汇收入大于

21、7.06亿美元的概率。,/*计算对不同的期权组合下的收入，每种组合有1000种收入情况*/ data b; set a; do kd=0.66,0.65,0.64,0.63,0.62,0.61,0.60,0.59,0.55; do kb=1.30,1.25 ,1.20,1.15,1.10,1.05,1.00,0.95,0.90; if kd=0.66 then cd=0.085855; if kd=0.65 then cd=0.032191; if kd=0.64 then cd=0.20795; if kd=0.63 then cd=0.017001; if kd=0.62 then cd=

22、0.013711;,if kd=0.61 then cd=0.010851; if kd=0.60 then cd=0.008388; if kd=0.59 then cd=0.006291; if kd=0.55 then cd=0.001401; if kb=1.30 then cb=0.137; if kb=1.25 then cb=0.083; if kb=1.20 then cb=0.045060; if kb=1.15 then cb=0.028338; if kb=1.10 then cb=0.016146; if kb=1.05 then cb=0.007860; if kb=

23、1.00 then cb=0.003277; if kb=0.95 then cb=0.001134; if kb=0.90 then cb=0.000245; rdm=645*0.6513*(1+dm)+500*(max(kd-0.6513*(1+dm),0)-cd); /*对冲后DM的USD收入*/ rbp=272*1.234*(1+bp)+500*(max(kb-1.234*(1+bp),0)-cb); /*对冲后GP的USD收入*/ rall=rdm+rbp; /*对冲的总收入*/ rall_nhedg=645*0.6513*(1+dm)+ 272*1.234*(1+bp); /*不对

24、冲的总收入*/ output; end; end; run;,/*上述程序产生9*9*1000=81000个观测值，下面排序后，每1000个观测分成一组，共81组*/ proc sort data=b; by kd kb; data c; set b; do i=1 to 81; /*简写的一种技巧，不然此处需要写81行*/ if 1000*(i-1)_n_=1000*i then index=i; /*分组，index为组标识变量*/ end; data c; set c; if rall=706 then i=0; else i=1; /*加标识i，以区别外汇收入是否大于7.06亿美元*/

25、 run;,/*计算收入大于706百万美元的概率*/ proc means data=c noprint; var i kd kb rall rall_nhedg; class index; /*按组号index分别汇总*/ output out=d mean=im kdm kbp rall_m rall_nhedg_m /*指定输出均值的变量名*/ std= i_std kd_std kb_std rall_std rall_nhedg_std /*指定输出标准差的变量名*/ sum=is kds kbs rall_s rall_nhedg_s /*指定输出和的变量名*/ lclm= i_l

26、 kd_l kb_l rall_l rall_nhedg_l /*指定输出95置信区间下界的变量名*/ uclm= i_u kd_u kb_u rall_u rall_nhedg_u; /*指定输出95置信区间上界的变量名*/ data d; set d; prob=is/_freq_; /*is为i（外汇收入大于7.06亿）的每组个数和，_freq_为proc means自动生成的变量，这里除第一行为81000外，每行都等于1000*/,data d; set d; if _n_=1 then delete; /*删掉proc means过程第一行对于整个数据集的总体汇总，这一行是自动生成的

27、*/ run; proc sort data=d; by descending prob; /*降序排列*/ run; data d; set d; label kdm=马克(dm)期权的执行价格; label kbp=英镑(bp)期权的执行价格; label prob=收入大于706百万美元的概率; label index=序列号; filename new d:1.txt; /*new是文件1.txt的标识*/ proc printto print=new; /*输出到文件new，即1.txt 中*/ run; proc print data=d label noobs; run; pro

28、c printto print=print; run;,从数据集d中可以看到采用执行价格为0.65马克期权和执行价格为1.20的英镑期权的组合时，公司的收入大于706百万美元的概率最大。,从数据集d中可以看最高的概率为0.939， 组合为(0.65, 1.2)。公司来自于德国和英国的外汇收入预期值为7.462948151亿美元，标准差为 0.37193814515 亿美元，那么收入均值的95%置信区间为（7.4398676463亿美元, 7.4860286557亿美元）。 如果公司采用执行价格组合为(0.65, 1.2)的德国马克和英镑外汇期权，那么公司从这两个国家获得的收入大于7.06亿美元

29、的概率将有93.9%，在这样大的概率下，公司的收入将是十分保险的，不会因为外汇市场的波动而对公司的盈利能力造成巨大影响。如果公司不采取套期保值策略，那么预期的收入为7.5190885929亿美元，这并不比对冲后的预期收入7.462948151亿美元高出多少，但后者却有低得多的风险，因此公司应该采用套期保值策略。,(c)下面改变期权的数量来比较期权组合的收益情况，结果如下：,/*计算收入大于706百万美元的概率*/ proc means data=c noprint; var i kd kb rall rall_nhedg; class index; /*按组号index分别汇总*/ outpu

30、t out=d mean=im kdm kbp rall_m rall_nhedg_m /*指定输出均值的变量名*/ std= i_std kd_std kb_std rall_std rall_nhedg_std /*指定输出标准差的变量名*/ sum=is kds kbs rall_s rall_nhedg_s /*指定输出和的变量名*/ lclm= i_l kd_l kb_l rall_l rall_nhedg_l /*指定输出95置信区间下界的变量名*/ uclm= i_u kd_u kb_u rall_u rall_nhedg_u; /*指定输出95置信区间上界的变量名*/ data

31、 d; set d; prob=is/_freq_; /*is为i（外汇收入大于7.06亿）的每组个数和，_freq_为proc means自动生成的变量，这里除第一行为81000外，每行都等于1000*/ data d; set d; if _n_=1 then delete; /*删掉proc means过程第一行对于整个数据集的总体汇总，这一行是自动生成的*/ run;,proc sort data=d; by descending prob; /*降序排列*/ run; data d; set d; label kdm=马克(dm)期权的执行价格; label kbp=英镑(bp)期权

32、的执行价格; label prob=收入大于706百万美元的概率; label index=序列号; filename new d:1.txt; /*new是文件1.txt的标识*/ /*改变期权数量的模拟情况*/ data b; set a; do nd=100,300,500; /*加入DM和BP的期权数量*/ do nb=100,300,500; do kd=0.66,0.65,0.64,0.63,0.62,0.61,0.60,0.59,0.55; do kb=1.30,1.25 ,1.20,1.15,1.10,1.05,1.00,0.95,0.90; if kd=0.66 then c

33、d=0.085855; if kd=0.65 then cd=0.032191; if kd=0.64 then cd=0.20795; if kd=0.63 then cd=0.017001; if kd=0.62 then cd=0.013711; if kd=0.61 then cd=0.010851;,if kd=0.60 then cd=0.008388; if kd=0.59 then cd=0.006291; if kd=0.55 then cd=0.001401; if kb=1.30 then cb=0.137; if kb=1.25 then cb=0.083; if kb

34、=1.20 then cb=0.045060; if kb=1.15 then cb=0.028338; if kb=1.10 then cb=0.016146; if kb=1.05 then cb=0.007860; if kb=1.00 then cb=0.003277; if kb=0.95 then cb=0.001134; if kb=0.90 then cb=0.000245; rdm=645*0.6513*(1+dm)+nd*(max(kd-0.6513*(1+dm),0)-cd); rbp=272*1.234*(1+bp)+nb*(max(kb-1.234*(1+bp),0)

35、-cb); rall=rdm+rbp; rall_nhedg=645*0.6513*(1+dm)+ 272*1.234*(1+bp); output; end; end; end; end; proc sort data=b; by nd nb kd kb; run;,/*上述程序产生3*3*9*9*1000=729000个观测值，下面排序后，每1000个观测分成一组，共729组*/ data c; set b; do i=1 to 729; if 1000*(i-1)_n_=1000*i then index=i; end; data c; set c; if rall=706 then i

36、=0; else i=1; run; /*计算收入大于706百万美元的概率*/ proc means data=c noprint; var i kd kb rall rall_nhedg nd nb; class index; output out=d mean=im kdm kbp rall_m rall_nhedg_m ndm nbp std= i_std kd_std kb_std rall_std rall_nhedg_std nd_std nb_std sum=is kds kbs rall_s rall_nhedg_s nd_s nb_s lclm= i_l kd_l kb_l

37、rall_l rall_nhedg_l nd_l nb_l uclm= i_u kd_u kb_u rall_u rall_nhedg_u nd_u nb_u ; data d; set d; prob=is/_freq_;,data d; set d; if _n_=1 then delete; run; proc sort data=d; by descending prob; run; data d; set d; label kdm=马克(DM)期权的执行价格; label kbp=英镑(BP)期权的执行价格; label prob=收入大于706百万美元的概率; label inde

38、x=序列号; label ndm=马克(DM)期权的数量; label nbp=英镑(BP)期权的数量; filename new d:1.txt; proc printto print=new; run; proc print data=d label noobs; run; proc printto print=print; run;,从数据集d结果当中可以看到，序号为638的组合收益大于7.06亿美元的概率最大。,由上面的计算结果可以得到： 是最优的期权组合，可以令收入大于7.06亿美元的概率达到最大值97.1%，显著高于其它期权数量组合。在 这样的期权数量组合下，根据第一步的计算，可得

39、出最优的执行价格组合为 。在这样的套期保值策略下，公司的预期收入为7.4279466473 亿美元，标准差为0.36872634617亿美元，那么收入均值的95%置信区间为7.4050654498 , 7.4508278448。 如果公司不采取套期保值策略的预期收入为7.5190885929 亿美元 与(a)中最优结果比较，在该策略下收入大于7.06亿美元的概率比(a)的策略大一些，但预期收入略有下降。 实际应用时，要对多次模拟的结果进行平均。,第14章 Copula函数及其应用,清华大学经管学院 朱世武 Z Resdat样本数据： SAS论坛： ,组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产

40、本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。 要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。 Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。,Copula函数,定义1 n维Copula函数 ，满足： (1) ，若中至少有一个分量为0，则 ；若中除 外的分量均为1，则 ； (2) ，若 ，则 ，其中： (14.1),定义2 n维函数 为Copula函数，若对n个服从均匀分布的随机变量 ，满足： (14.2)即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。,Copula函数的性质,引理1 随机变量有连续

41、分布函数F，则Z=F(X) 在0,1上均匀分布。,定理2（Sklar定理） 设随机变量 的边际分布函数为 ，联合分布函数为F。则有n维Copula函数，使得对于所有 ，有： (14.3),Copula函数的一些其他性质：,性质1 C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若 ，则： (14.4) 性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数，则对于每个 ，有： (14.5) 其中 (14.6),性质3 （递增变化不变性） 随机变量向量 有Copula函数 。 为一族严格递增函数。则 仍是 的Copula函数。,常见Copula函数,乘积Copula函数

42、 定义3 满足 的Copula函数称为乘积Copula函数。 乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。 定理3 令 为连续随机变量，则 彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数 。,正态Copula函数,定义4 正态分布随机变量 的均值分别为 ，方差分别为 ，协方差矩阵为R，则随机变量 的分布函数 为Copula函数，称为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（ 为标准正态分布函数）,t-分布Copula函数,t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。 定义5 正态分布随机变量 的均值分别为0，方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为 分布随机变量，自由度为

43、，与 独立。则随机变量 的分布函数 为Copula函数，称为自由度为 ，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。,Archimedean Copula函数,定义6 Archimedean Copula函数 可表述为如下形式： (14.7) 其中函数 ，函数 称为Copula函数的生成元。 生成元并非任意，必须满足 的导数随维数n的增加而收敛。如果 是在任何维数下的可容许生成元， 必须是一个Laplace变换。,定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为 ，密度函数 ，则有：（1）Y的Laplace变换定义为： (14.9) （2）令 ，若解存在， 的Laplace逆变换 定义为

44、函数 满足： (14.10) （3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。,几种不同生成元的Copula函数：,定义9 （1）Clayton Copula: (14.11) （2）Gumbel Copula: (14.12) （3）Frank Copula: (14.13) (14.14),运用Copula函数的相关性度量,运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为Kendalls tau和Spearmans rho。,定义10（一致性）令 为向量X，Y的两组观测。若 ，则称 与 一致。若 ，则称为不一致。,Kendalls tau,定义1

45、1 令 为连续随机变量(X，Y)n组观测的随机样本，则有 对不同的数组对 设c表示一致的数组对对数，d表示不一致的数组对对数，则 。Kendalls tau定义为: (14.15) 根据上述定义，t即为数组对 一致与不一致的概率之差。,将Kendalls tau引入Copula函数： 定理4 连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则 (X，Y)的Kendalls tau为： (14.16) 若U,V为0,1上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则： (14.17),下面讨论如何计算Kendalls tau：,Spearmans rho,定义12 设连续随机变量 彼此独立，且每组

46、 之间的联合分布均为H， 的边际分布均分别为F,G。则Spearmans rho定义为： (14.21),定理5 连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y的Spearmans rho为： (14.22) 若U,V为0,1上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则： (14.23) 这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。 此外， 即可将 理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平均距离。,Kendalls tau及Spearmans rho作为度量相关性指标的合理性,定义13 对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量 ，必须满足：（1） 对 有定义；（2）（3） （4）若

47、X,Y独立，则（5）（6）若 满足 ，则（7）若 是一列连续随机变量，有Copula函数 ，则,定理6 若为连续随机变量，Copula函数为，则Kendalls tau和Spearmans rho满足定义13所述要求。,Kendalls tau与Spearmans rho的关系,定理7 X,Y为连续随机变量， 分别为Kendalls tau与Spearmans rho，则有：,Copula函数与尾部相关性,设X,Y在0,1上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，不妨设 。如下定义C相应的条件Copula函数： 定义14 对于一个Copula函数C， 。定义： (14.31) 表示X,Y均小于u

48、的条件下u的分布，即 。由于对称性， 同时也是y在条件下 的分布。,定义15 设 为定义14中所定义的条件分布函数，则在u水平对应于C的极限尾部相关Copula函数为： (14.32) 根据该定义，有 这意味着当u很小的时候， 描绘了两个有Copula函数的随机变量的尾部条件相关性结构。,定义16 把在零点以指数 的速度变化的函数集合记为 ，即 ，有： (14.33) 定理8 令C为Archimedean Cpula函数，有可微生成元 ，则： (14.34) 当 时， 当 时，,定义17 随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系数定义为： (14.35) 上述定义的可以有另一种写法：

49、 (14.36) 其中 为C的生存Copula函数，即 若 存在且为正，则X,Y是下（上）尾部相关的；若 为0，则X,Y关于下（上）尾部独立。,定理9 令C为Archimedean Copula函数，生成元 则下尾部相关系数为,Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于n个服从0,1均匀分布的随机变量： ，Copula函数定义为： 设 为随机变量 的边缘分布，于是联合分布可以表示为： 由此可以看出，Copula函数可以用作边缘分布函数和多元分布函数之间的连接函数。,Copula函数的密度函数c的表达如下：,如果多元分布函数的密度函数存在，则有下列的分解成立：,Copula函数的

50、性质主要有一下几点： 1. 2. 连接函数对于随机变量的严格单调递增变换是不变的； 3. 如果每个一维边际分布 都是连续的，则连接边缘分布和多元分布函数的Copula函数是唯一的。,利用Copula函数度量违约相关性,在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率作为衡量资产信用的指标。在此基础上，可以采用Copula函数来度量违约概率之间的相关性，并进一步计算组合的信用风险。,构建信用曲线,连续随机变量生存时间T（survival time），它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。 F(t)表示在t时刻已经违约的概率 S(t) 表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存

51、函数（survival function）。根据函数的定义，可以得到： 可以看出，F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。,资产在时刻没有违约的情况下，在时段 内违约的概率：,定义 可以称之为危险率函数，它表示条件违约概率 密度。有下列等式成立： 从而可以得到： 而,现在定义信用曲线（credit curve），它是危险率函数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产的违约相关性。 获得信用曲线的方法一般有三种： 第一，从评级机构的历史数据中获得。 第二，使用布莱克舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其

52、转换为危险率函数。 第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲线（Yield Spread Curve），然后假设一个外生的恢复率（Recovery Rate），就可以推算出信用曲线。,布莱克舒尔茨方法 假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。 弱点：假设违约只在债务到期日才发生 。 First-Passage模型 认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界的时候，而不是债务到期日。,根据First-Pass

53、age模型，假设公司资产价值 服从对数正态分布，违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到： 其中 由此可以计算出资产的信用曲线。,图14.1 由First-Passage模型构建的信用曲线,公司资产的净收益率 ，资产波动率 ，违约边界D=70，公司初始资产 。,选择合适的Copula函数,一般采用正态Copula函数和学生氏Copula函数。 根据正态Copula函数的定义，可以通过公式（1）得到其密度函数：,其中， ，为gamma函数，为自由度。,其中,学生氏Copula函数的密度函数：,Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗

54、模拟来实现。例如，模拟正态Copula函数的步骤如下： 产生均值为0，相关系数矩阵为 的正态随机数向量 将正态随机变量转换为均匀随机变量： 根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量： 这里的Copula函数为：,图14.2 Copula函数的蒙特卡罗模拟结果,计算联合违约概率分布,假设有两种资产，第一种资产的危险率（Hazard Rate）为h=0.1，第二种资产的危险率为h=0.2。于是 , 。假设这里采用二维正态分布Copula函数，于是有下列公式：,它表示两种资产从现在开始，到t时刻时都违约的概率。,图14.3 两种资产同时违约的累积概率分布,图14.4 两种资产同时违约的概率密度分布,

55、信用衍生品定价,在度量资产组合的风险时，通常采用以下的过程来进行计算。 第一步，计算出资产组合中每种单一资产的风险。 第二步，找到一个合适的方法来将组合中单一风险进行综合。 最后，在确定了资产组合综合方式的基础上，可以进一步度量组合的风险。,背景介绍,例14.1 (Measuring and Optimizing Portfolio Credit Risk: A Copula-based Approach): 一个信用资产组合有10项信用资产，每项价值为100,000欧元，估计的危险率如表14.1所示。,表14.1 债务人情况,计算步骤,设 的分布函数为 。可用Copula函数得生存时间的联合分布如下： 如果使用正态Copula函数，即为： 其中 为10维正态累积分布函数，其相关系数矩阵 可利用RiskMetrics Group的CreditManager得到。,表14.2 相关性矩阵,为模拟相关生存时间，引进另一列随即变量 ，