随机变量函数的分布

1、3.4 随机变量函数的分布,一、单个随机变量函数的分布,一般解法,而事件：,即：,即：,所以有,其中f(x)y是积分区域x：f(x)y的简写。,如果 是连续型分布，则利用d.f与p.d.f之间 的关系，可得：,【例1】,【解】,定义1,由此可知：本例中,，则,一般地，求连续型R.V函数的p.d.f有如下的定理：,定理,【例2】,【解】,【例3】,【解】,二多维R.V.函数的分布 1.预备知识 【引理】R.V.相互独立对 一切一元波雷尔点集 有P = . 【定理*】如果n个R.V. 相互独立,且 是一元波雷尔函数，那么 也相互独立.,2.多维随机变量的函数的分布 设 = 是一个n维R.V.， 是

2、n元波雷尔可测函数， 作为上的函数也是R.V.，如果 = 的联合p.d.f.为 ，如何求出 的p.d.f.呢？同前述同类： 然后求导即得 .,3. 和与商的分布 定理1（和的分布）：设 为二维连续型R.V.，其联合p.d.f.为p(x,y), ,则 有p.d.f. 或,注：如果 与,相互独立，则,或,【例4】设 ，求 的p.d.f.,【解】,【注】当,与,相互独立时，即,=0时，,一般的，如果,，且,相互独立，那么,.,【例5】设 与 相互独立， ， ，求 的p.d.f. .,【解】,定义2 如果R.V.,的p.d.f.为,.,那么称R.V. 服从参数为 的 分布.记为 R.V. 分布.记为R

3、.V. . 【例6】设 ， .且 与 相互独立，那么 .,【解】,注1：本例说明： 分布对第一参数具有可加性：如果 ， ，且 相互独立.那么 . 注2：在 中， ， ,则 这是 .即 . 由 分布对第一参数具有可加性知：对参数n具有可加性.,注3：由前面推导知： ，则 由分布的可加性知： 这里我们用到一个结论：如果 相互独立，f(x)为波雷尔可测函数，那么 也相互独立.,定理2（商的分布） 设 为二维连续型R.V.，其p.d.f.为p(x,y). 那么商 的p.d.f.为 . 【推论】当如果与相互独立时，,定义3 如果R.V. 的p.d.f.为 那么称R.V. 服从参数为（n,m）的 分布，记

4、为 n第一参数，也称为第一自由度或分子自由度. m第二参数，也称为第二自由度或分母自由度.,0,y,x,定义4 如果 的p.d.f.为 那么称 服从参数为n的学生氏分布或自由度为n的t分布.记为 . 如果记 .那么由极限的计算可以证明：,0,y,x,【例7】设 与相互独立，且 ， ，试求 的概率密度函数 .,【解】,【例8】设 ， ，又 与 相互独立，试求的 p.d.f. .,【解】,4.多维R.V.的变换的分布 这里只讨论连续型情况： 设 为n维连续型R.V.，其p.d.f.为 ,又设 ， 均是 上的连续函数，组成一个m维 ， ， ，如何求 的联合 .其一般方法是：先求 的联合d.f.G. ，归结为计算积分：,（*）式中有如下情况： 当m=n=1时，前面已经解决过. 当m=1,n1时，前面也解决过. 当m=n1时，这是一类重要的情况，有如下定理：,（*）,见后,定理 设 连续型随机向量具有联合p.d.f.为 ， . 是 到 的一 个一一映射，如果 具有逆变换： 连续，且有连续的偏导数 ， 那么 的联合p.d.f.为,其中G为,的