优化设计的数学基础

1、第1，2章，优化设计的理论基础，第3周，第2章，优化设计的大多数是解决多元约束非线性规划问题，即多元非线性函数的极值问题。因此，优化设计基于多函数的极值理论，非快速条件优化问题是数学无条件极值问题，约束优化问题是数学条件极值问题。为了便于下一章优化方法的学习，需要研究这些非线性函数的特性和变分规律。3，2.1函数的泰勒表达式工程设计的优化问题中列出的目标函数往往很复杂，为了简化问题，在讨论点附近将目标函数扩展为泰勒多项式，从而逼近原始函数。一元函数f(x)在点X(k)的一个区域内具有(n 1)阶导数，泰勒级数可以表示为多项式和其他项的和：4，多元函数f(x)，f(X)，X=x1矩阵形式为：5，

2、点x(k)的f(X)是该点的一阶偏微分列向量。从点x(k)到f(X)的hesen矩阵是由该点的f(X)的二次部分微分组成的正方形矩阵。实际对称矩阵，记录为H(x(k)。6，Taylor扩展表达式作为二次项，函数可以近似为称为平方近似的二次函数。只要选择一次，就可以获得函数的一阶泰勒近似，也称为线性扩展或函数线性化。7，2.2二次和正定矩阵1，二次和实际对称矩阵将变量x1，x2，x n的二次齐次函数称为x1，x2，x n的二次类型。以矩阵表示时，上述二次类型可以表示为：其中是n阶实际对称矩阵。8，2和正定矩阵非零向量X=x1，x2，xnT将二阶类型称为正定二次函数，将矩阵a称为正定矩阵。相反，如

3、果实际对称矩阵a是正限定数量，则对于所有非零向量x，次类型始终具有正值。对于二次类型，a是正semidefinite矩阵。对于二次型，a是负固定矩阵。对于二次型，a是半负固定矩阵。当二次类型x设定为正数且x设定为负数时，a是无限矩阵。9，判断矩阵a是正限定或负限定方法。矩阵A的决定因素|A|的每个顺序主项大于0，即矩阵A是正定矩阵。矩阵A的决定因素|A|的每个顺序主辅项为负数，并且是正交交替变换符号，则矩阵A是负固定矩阵。10，2.3函数的等值面或线对一般二次函数的等高线是椭圆族。如果是，等高线是双曲族。如果是，等高线是抛物线族。如果目标函数是线性的，则等值线是一系列平行线。对于二次函数，如果

4、有极值点，则该点附近的等值线是一组同心椭圆。对于高阶非线性函数，等值线形状复杂，有时有一个或多个线族中心。例如，11，有两个等值线族心脏。12，2.4函数的最快下降方向函数的等值线或面只能在几何方面定性地表示函数值的变化，如何定量地反映函数在某一点的变化形式？方向导数f(x1，x2)是函数f(x1，x2)在X(0)处沿特定方向s的方向导数：13，常识是函数f(x1，x2)在X(0)点处沿方向s的方向导数。样式：向量s的强度分别是向量s和x1、x2轴的角度。偏导数是方向导数的特殊情况，14，n元函数f(x1，xn)是方向s在X(0)点的方向导数为：15，函数在一个点的方向导数等于该点的函数斜率和

5、方向单位向量的内部积。使用矢量模块创建的格式：选定方向与渐变方向相同，方向导向是最大值。渐变方向是函数值增长最快的方向。当选定方向为渐变矢量的负方向时，方向导数最小。负渐层方向是目标函数在该点的最快下落方向。对于，16，一般二进制二次函数，线性公式，17，2.5凸集，凸函数1，局部最优函数和全局最优函数极值点比较局部区域上的每个点。如果满足点X*附近的所有点X，则X*和f(X*)分别为局部最小值和局部极值。本地最大优点可以有多种。例如，优化问题是寻找整个域的最优解。18，2，凸集1，函数的凸函数的凸性表示单个峰。2，定义凸集：如果设定集D En，任意两点X(1) D，X(2) D，连接线段的点X对任意实数a0，1在集D内，则集称为凸集，否则称为非凸集。19，3，凸函数d是En的凸集，f(x)是d定义的函数，如果任意实数和d的两点x (1)和x (2)都存在，则函数f(x)是d定义的凸函