运筹学图与网络问题

1、第十一章 图与网络模型,一、图与网络模型介绍 二、最短路问题 三、最小生成树问题 四、最大流问题,一、图与网络模型介绍,1、引例 一群人之间存在错综的关系：赵、钱、孙、李、周。赵与钱相互认识、与孙也相互认识；钱与孙相互认识、孙与李相互认识。他们与周都不认识。 如何清晰的表示这些人之间的关系呢？ 当人数更多、人们间相互关系更复杂时，该怎样描述人们间的关系？,一群人之间存在错综的关系：赵、钱、孙、李、周。赵与钱相互认识、与孙也相互认识；钱与孙相互认识、孙与李相互认识。他们与周都不认识。,赵,钱,孙,李,周,赵,钱,孙,李,周,吴,陈,如果我们将上面的例子中人们之间的关系由“相互认识”改变成“认识”

2、，如赵和周之间的关系是，周认识赵而赵不认识周，这时我们如何表达人们之间的这种关系呢？,用带箭头的线来表示人们之间的关系：,赵,孙,周,吴,陈,钱,李,一、图与网络模型介绍,2、相关概念 （1）点、边、弧 （2）无向图、有向图 （3）链、圈、连通图 （4）路、回路 （5）权、网络,点、边、弧,点用于表示各种事物，一般用V表示 一个图中往往有多个点，一般用v1、v2、表示。一个图中所有的n个点构成点集V=v1、v2、vn 边用于描述事物间关系的线，一般用E表示。一个图中往往有多个边，一般用e1、e2、表示。一个图中所有的n条边构成边集E=e1、e2、en 弧带有箭头的线，一般用A表示。一个图中的n

3、条弧，一般用a1、a2、表示。一个图中所有的n条边构成边集A=a1、a2、an,无向图、有向图,无向图：由点和边构成的图，简称“图”，一般用G表示。G=（V，E），V是图G的点集，E是图G的边集。 有向图：由点和弧构成的图，一般用D表示。D=（V，A），V是图D的点集，A是图D的弧集。,链、圈、连通图,链：对于无向图G来说，如果存在一个点、边交错序列（v1、e1、v2、e2、vn）,其中边ei的起点是vi，终点是vi+1，即ei=（vi，vi+1），则称这条点、边交错序列为联结v1，vn的链。 圈：如果一条链（v1、e1、v2、e2、vn）中， v1=vn，则称之为圈 连通图： 对一个无向图G

4、，若任何两个不同的点之间，至少存在一条链，则称G为连通图,路、回路,路：在有向图D中，如果存在一个点、弧交错序列： （v1、a1、v2、a2、vn）,其中边ai的起点是vi，终点是vi+1，即ai=（vi，vi+1），则称这条点、弧交错序列为联结v1，vn的一条路。 回路：如果路的第一个点和最后一个点相同，则称这条路为回路。,权、网络,权：当无向图G的每一条边（vi，vj） ，或有向图D的每一条弧（vi，vj）上都相应地有一个数来进一步说明点与点之间的关系，那么这样的数我们可以称之为权，记为wij。给无向图G或有向图D添加权的过程，通常称为赋权。 网络：我们称赋了权的有向图D为网络。,二、最短

5、路问题,最短路问题是对一个赋权的有向图D中的指定的两个点vs到vt找到一条从vs到vt的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小，这条路被称为从vs到vt的最短路，这条路上所有弧的权数的总和被称之为从vs到vt的距离。 如下图，找出从v1到v4的最短路,v1,v2,v3,v4,4,2,1,5,9,v2,对下图，找出从vs到vt的最短路,16,16,17,17,18,22,22,23,23,30,30,31,41,41,59,vs,v1,v2,v3,v4,vt,例1 求下图中v1到v6的最短路,有向图D=（V，A）， V=v1，v2，v6 A=(v1,v2) ，(v1,v4)，(v1,v3),(v

6、2,v6), (v4,v2), (v4,v6), (v3,v5),(v3,v5), (v5,v4), (v5,v6) cij表示vi到vj的权,v1,v2,v3,v4,v5,v6,3,2,5,2,1,5,3,5,7,1,例1 求下图中v1到v6的最短路,v1到vt的最短路步骤： 1、给起点v1标号（0，s） 2、确定已标号点集I，未标号点集J，找出弧集A=（vi,vj）|vi I， vj J 3、如果弧集A=空集，那么如果vt已标号，则结束，如果vt未标号则说明不存在从v1到vt的路。否则，如果弧集A空集，转4 4、对A中的弧，计算sij=li+cij, 从中找出值最小的弧，给此弧标号为（si

7、j，i）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,3,2,5,2,1,5,3,5,7,1,双标号（sij，i）中sij表示由vi到vj的最短路长， i表示vi到vj的最短路上，此点前一个点的下角标。,例2 电线公司准备在甲乙两地沿路架设一条光缆线，问如何架设使其光缆线路最短。两地交通图如下：,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（甲）,（乙）,1、 永久标号：v1（0，s） K=1 2、I=v1，J=v2,v3,v4,v5,v6,v7，A=(v1, v2)，(v1, v3) 3、A 4、s12=l1+c12=0+15=15 s13=l1+c13=

8、0+10=10 Minsij=s13,永久标号：v3=（sij,i）=（10，1）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,s12=l1+c12=0+15=15 K=2 2、I=v1,v3，J=v2, v4,v5,v6,v7，A=(v1, v2)，(v3, v2)，(v3, v5) 3、A 4、s32=l3+c32=10+3=13 s35=l3+c35=10+5=15 Minsij=s32,永久标号：v2=（sij,i）=（13，3）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7

9、,（0，s）,（10，1）,（13，3）,s35=l3+c35=10+5=15 K=3 2、I=v1, v2, v3，J=v4,v5,v6,v7，A=(v2, v7)，(v2, v4)，(v3, v5) 3、A 4、s27=l2+c27=13+17=30 s24=l2+c24=13+6=19 Minsij=s35,永久标号：v5=（sij,i）=（15，3）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,（13，3）,（15，3）,s27=l2+c27=13+17=30 s24=l2+c24=13+ 6=19 K=4 2、I=

10、v1, v2, v3,v5，J=v4,v6,v7，A=(v2, v7)，(v2, v4)，(v5, v4), (v5, v6) 3、A 4、s54=l5+c54=15+4=19 s56=l5+c56=15+2=17 Minsij=s56,永久标号：v6=（sij,i）=（17，5）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,（13，3）,（15，3）,（17，5）,s27=30 s24=19 s54=19 K=5 2、I=v1, v2, v3,v5,v6，J=v4,v7，A=(v2, v7)，(v2, v4)，(v5, v

11、4), (v6, v7) 3、A 4、s67=l6+c67=17+6=23 Minsij=s24=s54, 永久标号：v4=（sij,i）=（19，2）或（19，5）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,（13，3）,（15，3）,（17，5）,（19，2）,/(19，5),s27=30 K=6 2、I=v1, v2, v3, v4,v5,v6，J=v7，A=(v2, v7) ，(v4, v7) ，(v6, v7) 3、A 4、s47=l4+c47=19+2=21 s67=l6+c67=17+6=23 Minsij=

12、s47,永久标号：v7=（sij,i）=（21，4）,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,（13，3）,（15，3）,（17，5）,（19，2）,/(19，5),（21，4）,V1到v7的最短路长为21，最短路径是,v1,v2,v3,v4,v5,v6,15,10,3,2,6,2,4,5,17,6,v7,（0，s）,（10，1）,（13，3）,（15，3）,（17，5）,（19，2）,/(19，5),（21，4）,v7,v4,v2,v7,v4,v5,v3,v1,v3,v1,三、最小生成树问题,几个概念： 树：无圈的连通

13、图 生成子图：给定一个无向图G=(V,E)，保留G中的所有点，删掉部分G的边，所得的新图G就是G的生成子图。 生成树：如果图G的生成子图是一个树，则称这个生成子图为生成树。 最小生成树：在一个赋权的连通的无向图中，找出一个生成树，如果这个生成树的所有边的权数之和最小，那么这个树就叫做最小生成树。,最小生成树求解方法一：破圈法,算法步骤： 1、在给定的赋权连通图上任找一圈 2、在找到的圈中删掉一条权数最大的边 3、如果余下的图不含圈，则它们构成最小生成树。,例4 用破圈法求解下图的一个最小生成树,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,10,3,3,4,5,3,4,1,2,7,8,例4 用破圈

14、法求解下图的一个最小生成树,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,10,3,3,4,5,3,4,1,2,7,8,例4 用破圈法求解下图的一个最小生成树,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,10,3,3,4,5,3,4,1,2,7,8,最小生成树如图，总权数为19,最小生成树求解方法一：避圈法,算法步骤： 1、另作一图G，绘制原图G的所有顶点 2、依次选取权数最小的边 3、若在图G中加入此边后不会产生圈，则在图G中加入此边。否则在剩下的边中继续选取。,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,10,3,3,4,5,3,4,1,2,7,8,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,3,3

15、,3,1,2,7,最小生成树如图，总权数为19,四、最大流问题,给了一个带发点和收点的网络，其每条弧的赋权表示容量。在不超过每条弧容量的前提下，求从发点到收点的最大流量。,例6 根据石油公司的管道网络，确定从v1到v7的最大流。,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,6,6,3,2,1,2,2,3,2,5,4,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，6）,（0，6）,（0，3）,（0，2）,（0，1）,（0，2）,（0，2）,（0，3）,（0，2）,（0，5）,（0，4）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，6）,（0，6）,（0，3）,（0，2）,（0，1）,（0，2

16、）,（0，2）,（0，3）,（0，2）,（0，5）,（0，4）,+2 ,（2，4）,（2，0）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，6）,（0，3）,（0，1）,（0，2）,（0，2）,（0，3）,（0，2）,（0，5）,（0，4）,+2 ,（2，0）,（2，4）,+3,（3，3）,（3，0）,（3，2）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，3）,（0，1）,（0，2）,（0，2）,（0，2）,（0，4）,+2 ,（2，0）,（2，4）,+3,（3，3）,（3，0）,（3，2）,+1,（3，3）,（1，0）,（1，3）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，3

17、）,（0，2）,（0，2）,（0，2）,+2 ,（2，0）,+3,（3，3）,（3，0）,（3，2）,+1,（3，3）,（1，0）,（1，3）,+2,（5，1）,（2，0）,（2，0）,（5，0）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（0，3）,（0，2）,+2 ,（2，0）,+3,（3，0）,+1,（3，3）,（1，0）,（1，3）,+2,（5，1）,（2，0）,（2，0）,（5，0）,+2,（5，1）,（2，1）,（2，0）,（3，1）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,+2 ,（2，0）,+3,（3，0）,+1,（1，0）,+2,（5，1）,（2，0）,（2，0）,（5，0

18、）,+2,（5，1）,（2，1）,（2，0）,（3，1）,五、最小费用最大流问题,最小费用最大流问题：给了一个带收发点的网络，对每一条弧（vi，vj），除了给出了容量cij外，还给出了这条弧的单位流量的费用bij，要求一个最大流F，并使得总费送费用最小。,例7 由于输油管道长短不一，所以例6中的每段管道除了有不同流量cij的限制外，还有不同的单位流量的费用bij，我们对每段管道（vi，vj）都用（cij，bij）。使用这个网络系统从v1向v7运送石油，怎样才能运送最多的石油，并使得总的运送费最小？,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（6，

19、3）,（3，2）,（2，3）,（1，3）,（2，8）,（4，4）,（2，4）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（6，3）,（3，2）,（2，3）,（1，3）,（2，8）,（4，4）,（2，4）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（6，3）,（3，2）,（2，3）,（1，3）,（2，8）,（4，4）,（2，4）,（0，-6）,（0，-3）,（0，-4）,（0，-5）,（0，-2）,（0，-3）,（0，-8）,（0，-4）,（0，-3）,（0，-7）,（0，-4）,v1,v2,v6,v

20、7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（6，3）,（3，2）,（2，3）,（1，3）,（2，8）,（4，4）,（2，4）,（0，-6）,（0，-3）,（0，-4）,（0，-5）,（0，-2）,（0，-3）,（0，-8）,（0，-4）,（0，-3）,（0，-7）,（0，-4）,从发点到收点的增广路首选总的单位费用最小的路,单位费用：10,1,费用：110,（5，3）,（1，-3）,（0，3）,（1，-3）,（3，4）,（1，-4）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（5，3）,（3，2）,（2，3）,（0，3

21、）,（2，8）,（3，4）,（2，4）,（0，-6）,（1，-3）,（0，-4）,（0，-5）,（0，-2）,（1，-3）,（0，-8）,（0，-4）,（0，-3）,（0，-7）,（1，-4）,费用：110,1,单位费用：11,+ 2,+211,（3，3）,（3，-3）,（0，8）,（2，-8）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（3，3）,（3，2）,（2，3）,（0，3）,（0，8）,（3，4）,（2，4）,（0，-6）,（3，-3）,（0，-4）,（0，-5）,（0，-2）,（1，-3）,（2，-8）,（0，-4）,（0，-3）,（

22、0，-7）,（1，-4）,1 + 2,费用：110+ 211,+ 2,单位费用：12,+212,（1，3）,（5，-3）,（1，2）,（2，-2）,（0，3）,（2，-3）,（1，4）,（3，-4）,v1,v2,v6,v7,v5,v4,v3,（6，6）,（3，4）,（5，7）,（2，5）,（1，3）,（1，2）,（0，3）,（0，3）,（0，8）,（1，4）,（2，4）,（0，-6）,（5，-3）,（0，-4）,（0，-5）,（2，-2）,（1，-3）,（2，-8）,（0，-4）,（2，-3）,（0，-7）,（3，-4）,1 + 2 + 2,费用：110+ 211+212,单位费用：16,+ 1,+116,（0，3）,（6，-3）,（0，2）,（2，-2）,（1，4）,（1，-4）,（4，7）