2013届高考文科数学一轮复习考案4.6 三角函数的综合应用

1、4.6三角函数的综合应用,真题探究,考纲解读,知识盘点,典例精析,例题备选,命题预测,基础拾遗,技巧归纳,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,近几年由于新课程数学关于三角变换的教学要求有所降低,在高考数学题中关于三角变换的问题也随之降低,但新课程增加了三角函数模型内容,有强化三角函数的应用的趋势,因此应加强三角函数在实际问题中的应用的建模训练.考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角函数最值等综合问题,预测2013年仍保持这一趋势.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,

2、1.对于y=asin x+bcos x型函数,一般化归为sin(x+),tan =,然 后求其最值和最值点.,2.对于三角函数类实际问题,一般选择一个“角”作为自变量,建立数学模型,然后解之.,3.三角变换中,要关注函数的变换,如面对二次齐式,一般 将其分子分母同除以cos2x,转化为tan x的代数式.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.如图,一个大风车的半径为8 m,每12min旋转一周,最低点离地面为2 m.若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是(),(A)h=8co

3、s t+10.,(B)h=-8cos t+10.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(C)h=-8sin t+10.,(D)h=-8cos t+10.,【解析】由T=12,排除B;当t=0时,h=2,排除A、C.故选D.,【答案】D,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.(2011年北京丰台区)已知(0,),a=log3sin ,b=2sin ,c=2cos ,那么a, b,c的大小关系是(),(A)acb.(B)cab.,(C)bca.(D)cba.,【答案】D,【解析】(0,),sin (0,),a

4、=log3sin sin ,cba.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,3.在ABC中,C,若函数y=f(x)在0,1上为单调递减函数,则下列命 题正确的是(),(A)f(cos A)f(cos B).,(B)f(sin A)f(sin B).,(C)f(sin A)f(cos B).,(D)f(sin A)f(cos B).,【答案】C,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,4.(2011年江苏盐城)观察下列几个三角恒等式:,tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1

5、;,tan 5tan 100+tan 100tan(-15)+tan(-15)tan 5=1;,tan 13tan 35+tan 35tan 42+tan 42tan 13=1.,一般地,若tan ,tan ,tan 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,中=13,=35,=42,+=90.,归纳知当+=90时,tan tan +tan tan +tan tan =1.,【答案】当+=90时,tan tan +tan tan +tan tan =1,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真

6、题探究,基础拾遗,例题备选,题型1三角变换的应用,例1(1)函数f(x)=(sin x+a)(cos x+a)的最大值是,最小 值是.(a0,),(2)函数g(x)=的值域是.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【分析】(1)中三角函数结构含“sin x+cos x,sin xcos x”,经过换元后,转化为二次函数的最值;(2)中三角函数式较复杂,需化简后发现其代数结构,再换元求其值域.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)g(x)=2sin x(1+sin x),sin x1,g(x)=2(si

7、n x+)2-.,令t=sin x,则t-1,1),y=2(t+)2-,所以y-,4).,【点评】三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合运用,近几年的高考数学题中,此类问题经常出现,其解法主要是通过三角函数恒等变形,将函数关系式化成一个角的一种函数形式,然后借助于三角函数性质来解决.,【答案】(1)a2+a+(2)-,4),考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练1(1)已知6sin2+sin cos -2cos2=0,则tan = ;,(2)设tan =2,sin(2+)=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础

8、拾遗,例题备选,(2)sin(2+)=sin 2cos +cos 2sin,=sin cos +(cos2-sin2),=+,=+,将tan =2代入上式得sin(2+)=.,【答案】(1)-(2),考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型2三角函数在实际中的应用,例2小易在“瓜渚湖”里划船,开始时看到“鉴湖明珠电视塔 ”在正西方,他沿南偏西60方向,以2.5米/秒速度划了75秒后,加快了速度,以4.5米/秒划了25秒,此时看到塔在东北方,若沿途测得塔的最大仰角为60,求塔高.(精确到米),【分析】根据题设条件画出示意图,然后分别计算出三角形中的各边

9、长,条件“沿途测得塔的最大仰角为60”的转化是一个障碍点,发现AB为定值,从而转化为寻找B到CD的最小值,即B到CD的距离问题.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【解析】如图,设塔为AB,小易开始在C处,C=30,FBD=45,DBC=180-45=135,D=15,CD=2.575+4.525=300.,在DBC中,由正弦定理可得=,DB=150.,设小船划到E处,仰角最大,即AEB最大,而tan AEB=,AB为定值,要使AEB最大,BE应为B到DC的最短 距离,BEDC,在RtDBE中,BE=DBsin 15=75(-1),在RtAEB,考

10、纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,中,AB=BEtan 60=75(3-)95米.,【点评】这是根据一次周末在瓜渚湖里划船的情景而设计的数学应用问题,学生可以借助于类比推理,将课堂上所学的数学思维方法类比到所遇到的生活情境中去,问题中“沿途测得塔的最大仰角为60”设计最佳.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练2如图所示,ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮,其中ATN是一半径为6米的扇形,已经被腐蚀不能使用,其余部分完好可利用.工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQC

11、R,其中P是弧TN上一点.设TAP=,长方形PQCR的面积为S平方米.,(1)求S关于的函数解析式;,(2)设sin +cos =t,求S关于t的表达式以及S的最大值.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【解析】(1)延长RP交AB于E,延长QP交AD于F,由ABCD是正方形,PRCQ是矩形,可知PEAB,PFAD,由TAP=,可得AE=6cos ,EP=6sin ,PR=7-6sin ,PQ=7-6cos ,S=PRPQ=(7-6sin )(7-6cos ),=49-42(sin +cos )+36sin cos .,故S关于的函数解析式为,S=

12、49-42(sin +cos )+36sin cos (0).,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)由sin +cos =t,可得t2=(sin +cos )2,=1+2sin cos ,即sin cos =,S=49-42t+18(t2-1)=18t2-42t+31.,又由0,可得+,故t=sin +cos =sin(+)1,S关于t的表达式为S=18t2-42t+31(t1,).,又由S=18(t-)2+,t1,可知当t=时,S取最大值,故S的最大值为67-42.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备

13、选,题型3三角函数的最值应用,例3,某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4 m,仰角ABE=,ADE=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)该小组已经测得一组、的值,算出了tan =1.24,tan =1.20,请据此算出H的值;,(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125 m,问d为多少时,-最大?,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【解析】(1)如图,作

14、CFAB交AE于点F,则ECF=,tanECF=,tan =,= ,H=124(m).,(2)由图可知,tan =,tan =,tan(-),=,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,=,=,、均为锐角,且,-为锐角,当d=55时,tan(- )有最大值,即-有最大值.故当d=55 m时,-有最大值.,【点评】根据所给的条件,选择合适的三角函数,建立关系式,再应用均值不等式求函数的最值,也就水到渠成了.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练3如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地A

15、BD”,其中AB长为定值a,BD 长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.,(1)设DAB=,将y表示成的函数关系式;,(2)当BE为多长时, y有最小值?最小值是多少?,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,所以S1=a2tan -S2=a2tan -,即S1=,则y=.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)因为tan (0,+),所以y=(tan +)1,当且仅当tan =1时取等号,此时B

16、E=.所以当BE长为时, y有最小值 1.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,题型4具有开放或研究型的三角函数应用,例4如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上 的A,B,C三点进行测量.已知AB=50 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=80 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=110 m,求DEF的余弦值.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,【分析】根据所给的数据,通过作辅助线构造直角三角形,利用勾股定理求出三角形的三边长,进而可求出其中一个角的余弦值.,【解析】作

17、BMAC交BE于N,交CF于M.,DF=10,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,DE=130,EF=150.,在DEF中,由余弦定理,cosDEF=.,【点评】这是一个有关解三角形的实际应用题,解题的关键是把实际问题抽象成纯数学的解三角形,因此,选择(或构造)一个符合条件的三角形成为解决问题的关键所在.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,变式训练4如图,某市拟在长为16 km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道,赛道的前一部分为曲线OSM,该曲线段为函数y=Asin x(a0,0,x0,8)的图象,且图象

18、的最高点为S(6,4).赛道的后一段 为折线段MNP,为保证参赛队员的安全,限定MNP=120.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)求实数A和的值以及M、P两点之间的距离;,(2)联结MP,设NPM=,y=MN+NP,试求出用表示y的解析式;,(3)应如何设计,才能使折线段MNP最长?,进一步可得点M的坐标为,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)在MNP中,MNP=120,NPM=,故=.,又MP=10,因此,y=sin +sin(60-)(060).,(3)把y=sin +sin(60-)进

19、一步化为:y=sin(60+)(060 ).,所以当=30时,ymax=(km).,可以这样设计:联结MP,分别过点M、P在MP的同一侧作与MP成30角的射线,记两射线的交点为N,再修建线段NM和NP,就可得到满足要求的最长折线段MNP赛道.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.三角函数在实际生活的应用是中学数学建模中的一个分支,除了根据实际问题的现象抽象出三角函数模型之外,关键是根据问题选择适当的参变量角,沟通角与其他变量之间的数量关系;另一方面,利用数据处理方法处理周期现象的数据反映出的周期变化规律也是三角函数模型中的一个重要的应用.,三角知

20、识在解决实际问题时,有着广阔的天地.三角实际应用题的建模方法,主要是引入角,构建三角形、或其他几何图形,借助于三角代换、正弦和余弦定理去解决.在应用余弦和正弦定理解答斜三角形,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,实际问题时,要从几何作图角度、三角函数定义角度、正余弦定理角度去观察定形问题(当题目的条件能确定一个或两个三角形时),不定形问题(当题目条件对应于一个三角形集合时),在解决三角应用问题的过程中,应熟悉视角、方位角、仰角、俯角等概念.,2.解斜三角形应用题的一般步骤:,(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图.,(2)建模:根据已知条件

21、与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型.,(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,的解.,(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.,3.求三角函数的最值问题,如果是实际问题,首先要根据实际问题建立三角函数模型,然后再由三角函数式的具体特征求其最值;如果是三角形内的数量关系,要根据边角之间的数量关系,借助于正弦函数、余弦函数的有界性,求其最值;如果是复杂三角函数式的最值问题,首先要对其实施三角变换,化成正弦型或余弦型三角

22、函数,然后再求其最值.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,在具体解答有关三角函数最值问题的题目时,还应注意正弦、余弦的有界性及函数定义域对值域确定的影响;注意利用二次函数闭区间内求最大最小值的方法,以及利用重要不等式或利用数形结合和换元的方法来解答.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,1.(2010年陕西卷)如图,A、B是海面上位于东西方向相距5(3+)海 里的两个观测点.现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点 的救援船立即前往营救

23、,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,DB= =10(海里).,又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20(海里),在DBC中,由余弦定理得,CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1200-21020=900,CD=30(海里),则需要的时间t=1(小时).,答:救援船到达D点需要1小时.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,2.(2010年福建卷)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小

24、艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?,(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,=,故当t=时,Smin=10,此时v=30.,即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归纳,真题探究,基础拾遗,例题备选,(2)设小艇与轮船在B处相遇,则,v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),故v2=900-+.,0v30,900-+900,即-0,解得t.,又t=时,v=30,故v=30时,t取得最小值,且最小值等于.,考纲解读,命题预测,知识盘点,典例精析,技巧归