高等数学5-1定积分的概念及性质

1、1,第五章,积分学,不定积分,定积分,定积分,2,第一节,一、定积分问题举例,二、 定积分的定义,三、 定积分的性质,定积分的概念及性质,3,一、定积分问题举例,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,4,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，或说分割的越来越细，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,5,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,6,解决步骤 :,1) 分割,在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,在第i 个小区

2、间上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,小曲边梯形面积,得,2)近似替代（以直代曲）,7,3) 求和.(曲边梯形面积的近似值为:),4) 取极限.,令,曲边梯形面积为：,L,8,2. 变速直 线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,已知速度,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,9,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,解决步骤:,（2）近似替代（以直代曲）,10,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同

3、:,“分割，近似、求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,所求量只和两个因素有关:,函数、函数的变化范围,11,二、定积分的定义,定义,12,记为,13,14,注意：,(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 ,即,15,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,可积的充分条件:,16,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,17,几何意义：,18,例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,19,20,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上

4、下限的大小,三、定积分的性质,21,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,1.,22,证,2.,23,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例:若,则,3.,（定积分对于积分区间具有可加性）,24,4.,证:,推论1. 若在 a , b 上,则,25,解,令,于是,26,推论2.,证:,即,说明： 可积性是显然的.,27,例2. 试证:,证: 设,即,故,即,28,证,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,6. 设,则,29,解,30,解,31,32,7. 积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质6 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,积分中值公式,

5、33,积分中值公式的几何解释：,34,说明:,可把,积分中值定理对,或曲边梯形平均高度。,定理可以进一步改造：把结论中的闭区间改成开区间（见书P239例6）。,35,解,由积分中值定理知有,使,36,证明：在(a , b)内存在一点 使得,例.设 在a , b 上连续，在(a , b)内可导,且存在(a , b)内一点c，使得：,37,思考与练习,1. 用定积分表示下述极限 :,解:,或,38,2.,39,解:,例,上述例子实际上提供了一个有界函数但不是可积函数的反例。说明有界是可积的必要条件,40,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,41,观察下列演示过程，

6、注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,42,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,44,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,45,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,46,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,47,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,48,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,49,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,50,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,51,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,52,观察下列演示过程，注意当分