振动理论ch1.ppt

1、1,振动理论,Theory of Vibration,胡卫华,2,教学内容,教学内容,绪论 单自由度系统的自由振动 单自由度系统的受迫振动 多自由度系统的振动 线性振动的近似计算方法 连续系统的振动,3,单自由度系统的自由振动,无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效刚度 瑞利法 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,教学内容,4,自由振动,指系统受初始扰动后,仅靠弹性恢复力来维持的振动,在振动过程中没有外界能量的补充,无阻尼自由振动,有阻尼自由振动,单自由度系统的自由振动,一.基本概念,5,建立坐标,受力如图，振动微分方程为:,得单自由度系统自由振动微分方程的标准形式,通解为:,1.单自由度系统自由振动

2、的简化模型,二. 无阻尼自由振动,6,2.质量-弹簧系统,单自由度系统的自由振动,m,k,由牛顿第二定律，得：,在平衡位置,自由振动微分方程：,7,单自由度系统的自由振动,自由振动微分方程：,令：,则有：,通解：,C1，C2：待定常数，由初始条件决定,8,单自由度系统的自由振动,0：系统固有属性的数值特征，与系统是否正在振动着以及如何进行振动都毫无关系,A,：不是系统固有属性的数值特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关,固有角频率弧度/秒（rad/s） （固有频率）,振幅,初相位,单自由度系统的自由振动,3.考虑系统在初始扰动下的自由振动,振幅：,初相位：,得：,单自由

3、度系统的自由振动,初始条件下的自由振动：,初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以0为振动频率的简谐振动，并且永无休止,11,初始条件：,固有频率从左到右：,12,单自由度系统的自由振动,4.扭摆,圆盘转动惯量为J,由牛顿第二定律(动量矩定理),轴的扭转刚度为k，定义为使圆盘产生单位转角所需的力矩（Nm/rad),扭振固有频率：,扭振方程,13,单自由度系统的自由振动,角振动与直线振动的数学描述是完全相同的,如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动

4、广义弹簧质量系统,m,k,14,单自由度系统的自由振动,m,k,单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件,惯性元件(质量或转动惯量),弹性元件(具有刚度或扭转刚度的弹性体)- 产生使系统恢复原来状态的恢复力,-感受加速度,15,单自由度系统的自由振动,4.复摆,刚体质量m 重心C 对悬点的转动惯量JO,求： 复摆在平衡位置附近作微振动时的微分方程和固有频率,16,单自由度系统的自由振动,解：,由牛顿定律(动量矩定理),因为微振动：,则有：,固有频率：,17,例： 提升机系统,重物重 量,钢丝绳的弹簧刚度,重物以 的速度均匀下降,求： 绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳

5、中的最大张力。,单自由度系统自由振动,18,解：,振动频率,重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置,则 t=0 时，有：,振动解：,单自由度系统自由振动,静平衡位置,k,x,W,v,19,振动解：,绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：,动张力几乎是静张力的一半,由于,为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度,单自由度系统自由振动,20,例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L，抗弯刚度 EJ,求： 梁的自由振动频率和最大挠度,单自由度系统自由振动,21,解：,由材料力学 ：,自由振动频率为 ：,单自由度系统自由振动,取平衡位置,

6、以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系,静变形,m,h,0,l/2,l/2,x,22,撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：,则自由振动振幅为 ：,梁的最大扰度：,单自由度系统自由振动,23,单自由度系统自由振动,例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动,斜面倾角 300,质量 m=1kg,弹簧刚度 k=49N/cm,开始时弹簧无伸长，且速度为零,求： 系统的运动方程,重力角速度取 9.8,24,单自由度系统自由振动,解：,以静平衡位置为坐标原点建立坐标系,振动固有频率：,振动初始条件：,初始速度：,运动方程：,25,单自由度系统的自由振动,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效

7、刚度 瑞利法 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,26,能量法,单自由度系统的自由振动,无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能和势能之和保持不变，即：,或：,单自由度系统的自由振动,m,k,动能：,（重力势能）,势能：,（弹性势能）,不可能恒为,振动方程,坐标原点取在静平衡位置,单自由度系统的自由振动,m,弹簧原长位置,k,动能：,势能：,设新坐标,坐标原点取在弹簧原长位置,单自由度系统的自由振动,如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。,两个特殊位置上系统的能量,单自由度系统的自由振动,静平衡位置上动能达到最大,将系统势能取为零，,最

8、大位移位置，系统动能为零，势能达到最大,单自由度系统的自由振动,x是广义的,对于转动,32,求无阻尼单自由度系统固有频率的两种方法,直接法,能量法,33,例：如图所示是一个倒置的摆,摆球质量 m,刚杆质量忽略,每个弹簧的刚度,求: (1) 倒摆作微幅振动时的固有频率,单自由度系统自由振动,(2) 摆球 时，测得频率 为 ， 时，测 得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰 使系统处于不稳定平衡状态？,34,解法1：,广义坐标,动能,势能,平衡位置1,零平衡位置1,单自由度系统自由振动,35,解法2：,平衡位置2,动能,势能,零平衡位置2,单自由度系统自由振动,36,单自由度系统自由振动,例：均质圆

9、柱 质量m，半径R 与地面纯滚动 在A、B点挂有弹簧,确定系统微振动的固有频率,37,单自由度系统自由振动,解：,广义坐标：圆柱微转角,圆柱做一般运动，动能：,C点为运动瞬心,势能：,C,A点速度：,B点速度：,38,单自由度系统自由振动,解：,动能：,势能：,C,39,单自由度系统自由振动,例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统,确定系统微振动的固有频率,滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。,40,单自由度系统自由振动,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能：,41,单自由度系统自由振动,解：,广义坐标：质量块的垂直位移 x,动能：,x,势能

10、：,42,单自由度系统的自由振动,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效刚度 瑞利法 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,等效质量和等效刚度,将复杂的单自由度系统简化为弹簧质量系统,单自由度系统的自由振动,ke等效刚度,me等效质量,等效简化前后系统的动能和势能分别相等,44,求系统等效质量和等效刚度的两种方法,定义法,能量法,等效质量：使系统在选定坐 标上产生单位加速度而需要 在此坐标方向上施加的力,等效刚度：使系统在选定坐 标上产生单位位移而需要在 此坐标方向上施加的力,45,动能,势能,单自由度系统自由振动,46,单自由度系统自由振动,动能,势能,47,单自由度系统自由振动,x,动能,

11、势能,48,单自由度系统的自由振动,例：复摆,刚体质量m ，重心C ，对悬点的转动惯量JO,求等效质量和等效刚度,系统动能,系统势能,（解法一：能量法）,49,单自由度系统的自由振动,例：复摆,系统动能,系统势能,广义坐标：x,50,单自由度系统的自由振动,例：复摆,在系统沿方向上施加力偶矩M,（解法二：定义法）,令,则,令,则,51,单自由度系统的自由振动,例：串联弹簧,在质量块上施加力P,弹簧1变形,m,k1,k2,弹簧2变形,总变形,由等效刚度定义,52,串联弹簧的等效刚度,并联弹簧的等效刚度,单自由度系统的自由振动,53,例：杠杆系统,杠杆是不计质量的刚体,求： 系统对于坐标 x 的等

12、效质量和等效刚度,单自由度系统自由振动,54,解法1：能量法,动能：,势能：,单自由度系统自由振动,等效质量：,等效刚度：,固有频率：,55,解法2：定义法,设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P,设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P,单自由度系统自由振动,则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：,则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：,56,图示结构中，杆在水平 位置处于平衡，若k、m、 a、l 等均为已知。,求：系统微振动的固有 频率,单自由度系统的自由振动,57,解：y为广义坐标;平衡位置为零势能位置，弹簧的静载变形量为st,系统的势能为,等效刚度,系统的动能,等效质量

13、,系统的固有频率,58,单自由度系统的自由振动,教学内容,无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效刚度 瑞利法 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,瑞利法,单自由度系统的自由振动,能量法求 固有频率,只考虑惯性元件的动能,忽略弹性元件的动能,算出的固有频率是实际值的上限,这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程实际问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略,单自由度系统的自由振动,k,弹簧动能,m,mt,mte弹簧等效质量,系统动能,系统等效质量,系统势能,瑞利法：对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式(振型),按能量法求解其动能，进而求得等效质量和固有频率。,单自由度系统

14、的自由振动,k,m,mt,设弹簧长度为 l，,单位长度的质量为l,假定弹簧的变形与离固定点的距离成正比,假设振型,62,弹簧等效质量,系统等效质量,微段弹簧动能：,弹簧总动能,k,m,mt,假设振型,处的位移为,速度为,63,系统总动能,系统势能,固有频率,64,单自由度系统的自由振动,无阻尼自由振动 能量法 等效质量和等效刚度 瑞利法 阻尼自由振动 等效粘性阻尼,教学内容,阻尼自由振动,单自由度系统的自由振动,实际振动过程中总存在着各种各样的阻力，机械能不守恒。,实际振动系统中阻尼的物理本质非常复杂，工程上提出了一些数学上描述阻尼的方法，其中常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。,粘性阻尼力与速

15、度成正比，即,c 比例系数，Ns/m,振动中将阻力称为阻尼，如摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼，结构阻尼等。,66,单自由度系统的自由振动,m,k,c,m,动力学方程,或,固有频率,阻尼系数,其中,阻尼比,67,单自由度系统的自由振动,m,k,c,动力学方程,令:,特征方程:,特征根:,三种情况:,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,68,单自由度系统的自由振动,m,k,c,特征方程:,特征根:,第一种情况:,欠阻尼,特征根:,方程通解:,C1，C2：待定常数，由初始条件决定,阻尼固有频率，,69,单自由度系统的自由振动,欠阻尼,则:,设初始条件,振动解,或:,初始振幅,初相角,70,单自由度系统的自由振动

16、,欠阻尼,振动解:,阻尼固有频率,阻尼自由振动周期,T0：无阻尼自由振动的周期,71,单自由度系统的自由振动,欠阻尼,振动解:,振幅逐渐衰减,阻尼大，则振动衰减快,阻尼小，则振动衰减慢,单自由度系统的自由振动,减缩系数,评价阻尼对振幅衰减快慢的影响,定义为相邻两个振幅的比值：,欠阻尼振动与t无关，任意两相邻振幅之比均为,衰减振动的频率为d ，振幅衰减的快慢取决于 0,工程实际应用中常采用对数减缩率,单自由度系统的自由振动,实验求解,利用相隔 j 个周期的两个振幅求解,得：,74,单自由度系统的自由振动,m,k,c,动力学方程,特征方程:,特征根:,第二种情况:,过阻尼,特征根:,没有振动发生,

17、方程通解:,C1，C2：待定常数，由初始条件决定,一种按指数规律衰减的非往复运动,75,单自由度系统的自由振动,动力学方程,特征方程,特征根,第三种情况,临界阻尼,特征根,但比过阻尼衰减快,方程通解,C1，C2：待定常数，由初始条件决定,仍然是按指数规律衰减的非往复运动，,二重根,76,临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动,过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生,77,小结：,动力学方程,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,按指数规律衰减的非周期蠕动,按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快,振幅衰减振动,78,例：阻尼缓冲器,静载荷 P

18、 去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的 10,求： 缓冲器的相对阻尼系数,单自由度系统自由振动,79,解：,由题知,设,求导 ：,设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：,即经过半个周期后出现第一个振幅 x1,单自由度系统自由振动,80,由题知,解得：,单自由度系统自由振动,81,例：,单自由度系统自由振动,刚杆质量不计,求： （1）写出运动微分方程,（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率,小球质量 m,82,解：,单自由度系统自由振动,阻尼固有频率：,无阻尼固有频率：,m,广义坐标,力矩平衡：,受力分析,83,等效粘性阻尼,阻尼在所有振动系统中是客观存在的,单自由度系统自由振动,大多数是非粘性阻尼，其性质各不相同,非粘性阻尼的数学描述比较复杂,处理方法之一： 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼,原则：,等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量,84,单自由度系统自由振动,通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动,该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的,粘性阻尼在一个周期内消耗的能量 可近似地利用无阻尼振动规律计算出：,目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数,讨论以下几种非粘性阻尼情况：,干摩擦阻尼,平方阻尼,结构阻尼,85,单自由度系统自