第3章 平面力系

1、第二章平面汇交力系,力 系,平面力系,空间力系,各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。,平面汇交力系 平面平行力系 平面力偶系 平面一般力系,各力的作用线不都在同一平面内的力系称为空间力系。,空间汇交力系 空间平行力系 空间力偶系 空间一般力系,作用线汇交于一点,平面汇交力系,平面汇交力系,平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法,1. 两个汇交力的合成,obc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。,平面汇交力系,2. 任意个汇交力的合成,平面汇交力系的合力为力的多边形的逆封边,平面汇交力系,平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力

2、的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。,平面汇交力系,例同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，已知三钢索的拉力分别为：F1500N，F21000N，F32000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。,解（1）选定力的比例尺如图。 （2）作力多边形，（先将各分力乘以比例尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）。,（3）量得代表合力矢的长度，则FR的实际值为 FR 2700N FR 的方向可由力的多边形图直接量出，FR 与F1的夹角为7131。,平面汇交力系,二、平面汇交力系平衡的几何条件,平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何条件是：力的多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。

3、 用矢量表示为,FR =F=0,平面汇交力系,平面汇交力系的平衡条件：力的多边形的自行封闭,平面汇交力系,平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、平面汇交力系的解析法,式中分别为F与x轴正向所夹的锐角。,x,1.在坐标轴上的投影,Fx,力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。,平面汇交力系,两种特殊情形：, 当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。, 当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。,平面汇交力系,力的投影和力的分量是两个不同的概念。,另外：仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。,平面汇交力系,已知F1=F2=F3=F4

4、=100kN，各力方向如图示，试分别计算在x轴和y轴上的投影。,F1的投影 F1x=F1cos450=(1000.707)kN=70.7kN F1y=F1sin450=(1000.707)kN=70.7kN,F2的投影 F2x=F2cos600=(1000.5)kN=50kN F2y=F2sin600=(1000.866)kN=86.6kN,平面汇交力系,F3的投影 F3x=F3cos300= (1000.866)kN=86.6kN F3y=F3sin300=(1000.5)kN=50kN,F4的投影 F4x=F4cos900=0 F4y=F4sin900= (1001)kN=100kN,平面

5、汇交力系,平面汇交力系合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。,2.合力投影定理,证明：以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3 如图。,平面汇交力系,合力 FR 在x 轴上投影：,F1,F2,FR,F3,x,A,B,C,D,(b),各力在x 轴上投影：,推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点力系，可得：,FRx =F1x+F2x+Fnx=Fx,平面汇交力系,3用解析法求平面汇交力系的合力,式中 为合力FR与x轴所夹的锐角。,合力FR的大小和方向可由下式确定 ：,平面汇交力系,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零

6、。,这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。,平面汇交力系平衡的解析条件,平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,平面汇交力系,求平面汇交力系平衡问题的步骤： 1)选取研究对象； 2)作研究对象的受力图。当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。 3)选取适当坐标系。为简化计算，尽量使未知力作用线与坐标轴垂直； 4)建立平衡方程，求解未知力。列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。,平面汇交力系,如图轧路碾子自重P = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心

7、O处作用一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3)力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为多大。,例题,1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。,各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力P ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。,由已知条件可求得,再由力多边形图c 中各矢量的几何关系可得,解得,解：,例题,2. 碾子能越过障碍的力学条件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。,3. 拉动碾子的最小力为,由此可得,例题,例 一圆球重15kN，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙之间的夹角=300

8、,如图2-13a所示，求墙对球的约束反力及绳索对圆球的拉力F T。,解 取圆球为研究对象，设直角坐标系如图，列平衡方程。,平面汇交力系,Fx=0 F N - FTcos 600=0 FN= FT cos600 =(17.320.5)kN=8.66kN,Fy=0 F Tsin 600-W =0,同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为力偶系。 作用在同一平面内的力偶系称为平面力偶系。,平面力偶系的合成与平衡条件,平面力偶系,一、平面力偶系的合成,平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。用式子表示为：,式中 MR表示合力偶矩, 表示原力偶系中各力偶的力偶矩。

9、,平面力偶系,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,二、平面力偶系的平衡条件,对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以求解一个未知量。,例 如图示的梁AB，受一力偶的作用，已知力偶，M=20kNm，梁长l=4m,梁自重不计，求A、B支座处反力。,解 取梁AB为研究对象。 梁在力偶和A、B两处支座反力作用下平衡。,平面力偶系,例,两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 = 1.5KN = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。,例,长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A 、B 支座的约束反力。,故,解得,得,FA 、FB为正值，说明图中所示FA 、FB

10、的指向正确。,由平衡方程,由（1）（2）两式得：,分析OA杆，有,分析 杆，有,平面一般力系,各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面一般力系。,平面一般力系,第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化,一、力的平移定理,作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的。,平面一般力系,说明：, 力平移的条件是附加一个力偶M，且M与d有关，M=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。,平面一般力系,应用力的平移定理时，须注意： 1）平移力F的大小与作用点位置无关，但附加力偶矩M=Fd的大小和转向与作用点的位置有关。,O点可选择在物体上的任意位

11、置，而F的大小都与原力F相同。而附加力偶矩的力臂d 值会因作用点位置的不同而变化。,平面一般力系,2）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力，这个力F与F大小相等、方向相同、作用线平行，作用线间的垂直距离为,平面一般力系,二、平面任意力系向作用面内任意一点简化,设刚体受到平面任意力系F1 、F2 、Fn的作用。取O点为简化中心,(F1、F2、F3、Fn),(F1 、F2 、F3 、Fn ) (M1、M2、M3、Mn),(FR,Mo),平面一般力系,汇交于O点的平面汇交力系 F1、 F2、Fn 且F1

12、F1 、 F2F2、FnFn,附加力偶系M1、M2、Mn 且M1Mo(F1)、 M2Mo(F2) 、 、Mn Mo( Fn),作用于点O的 FR,力偶MO,平面一般力系,FRF1+ F2+FnF1 +F2 +FnF,主矢,FR称为该力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。,式中为合力FR与x轴所夹的锐角。,平面一般力系,各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O之矩，即 MOM1+M2+ MnMo(F1)+Mo (F2) +Mo(Fn) 原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。 可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，

13、所以主矩一般都与简化中心的位置有关。,主矩,MO MO (F),平面一般力系,结论： 平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。,平面一般力系,思考： 平面任意力系向不同点（O点和A点）简化时： 1. 得到的力是否相同？ 2. 得到的力偶是否相同？,平面一般力系,平面任意力系向O点简化，一般得一个力和一个力偶。可能出现的情况有四种：,三、简化结果分析,说明原力系可以合成为一个合力偶，合力偶矩MO=M0 (F) ，由于力偶对其平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的

14、选择无关。,平面一般力系,说明力系与通过简化中心的一个力等效，即原力系合成为一个合力，合力的大小、方向和原力系的主矢FR相同，作用线通过简化中心。,根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合成为一个作用于另一点0的合力FR。,平面一般力系,合力 FR的大小和方向与原力系的主矢FR相同，而合力作用线至简化中心的距离d为,合力FR在O点的哪一侧，由FR对O点的矩的转向应与主矩M0的指向相一致来确定。,平面一般力系,说明力系平衡。,综上所述，不平衡的平面一般力系，其简化的结果只能是一个力，或是一个力偶。,例题,在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，

15、F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,求向O点简化结果,解：,建立如图坐标系Oxy。,所以，主矢的大小,1.求主矢 。,2. 求主矩MO,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如右图所示。,主矢的方向：,合力FR到O点的距离,y,四、合力矩定理,平面一般力系的合力对作用平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,平面一般力系,解,例 已知F1=4kN，F2=3kN，F3=2kN，试求下图中三力的对O点的力矩及合力对O点的矩。,第三节 沿直线平行分布力的简化,物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力

16、、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为体力，后者称为面力。体力和面力都是分布力。,沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力，简称为线分布力或线分布荷载。,例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，均为线分布荷载。,水压力的简化,梁上面力荷载的简化,第三节 沿直线平行分布力的简化,表示力的分布情况的图形称为荷载图。某一单位长度上所受的力，称为分布力在该处的荷载集度。如果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或匀布荷载；否则，就称为非匀布力或非匀布荷载。,用q 代表线分布力的集度。集度q 定义为某一微小长度L 上所受的力Q 与L 之比

17、当L0 时的极限，即,第三节 沿直线平行分布力的简化,线分布力集度的单位是N/m、kN/m 等。,则，线段AB上所受的分布力的合力Q 的大小为：,= 线段AB上荷载图的面积,第三节 沿直线平行分布力的简化,设图中的AabB 为直线段AB上的荷载图。取直角坐标系Oxy，使y轴平行于分布力。命与原点相距x 处的荷载集度为q，则在该处微小长度x 上的力的大小为Q=qx,亦即等于x上荷载图的面积 A。,其次求合力Q 的作用线的位置。利用平面力系的合力矩定理，可得,第三节 沿直线平行分布力的简化,综上所述，可知同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合力通过荷载图面积的形

18、心。,如果荷载图的图形较为复杂：可分成几个简单的图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其合力。,可见，xC 就是荷载图面积的形心的坐标。,（1）集中荷载的单位，即力的单位为（N,kN)。,荷载的单位,分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,（2）体分布荷载的单位：,（3）面分布荷载的单位：,（4）线分布荷载的单位：,如图所示的均布荷载，其合力为：,作用线则通过梁的中点。,（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。,分布荷载的计算方法,如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。,（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。,水平梁AB受三角形分布的载荷作

19、用，如图所示。载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。,例题,在梁上距A端为x的微段dx上，作用力的大小为qdx，其中q为该处的载荷集度 ，由相似三角形关系可知,因此分布载荷的合力大小,解,设合力F 的作用线距A端的距离为h，根据合力矩定理，有,将q 和 F 的值代入上式，得,重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已知水深H=46m，泥沙厚度h=6m，单位体积水重 =9.8kN/m3，泥沙在水中的容重 =8kN/m3。又1m长坝段所受重力为W1=4500kN，W2=14000kN。试将该坝段所受的力系向O 点简化，并求出简化的最后结果。,第三节 沿直线平行分布力的简化,例题,解：作

20、用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形。,设水压力合力为P1，则,P1通过该三角形的形心，即与坝底相距 H/3=46/3m。,第三节 沿直线平行分布力的简化,泥沙压力的合力设为 P2，则,P2与坝底相距h/3=2m。,将P1、P2、W1、W2四个力向O 点简化。 求主矢量：,第三节 沿直线平行分布力的简化,负号表示主矩MO 的转向与图示转向相反，即应为顺时针向。,合力作用线与x轴交点A的x坐标值为：,第三节 沿直线平行分布力的简化,对O点的主矩：,故原力系有合力,第二节 平面一般力系的平衡方程及其应用,一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程,平面一般

21、力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢FR和力系对作用面内任一点的主矩Mo都等于零，即,于是有,Fx= 0 Fy= 0 M0(F)= 0,上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程。,当满足平衡方程时，物体即不能移动，也不能转动，物体就处于平衡状态。因此平面一般力系有三个独立的平衡方程。 当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个独立的平衡方程求解三个未知量。,Fx=0 Fy=0 M0(F)=0,A、B 的连线不和x 轴相垂直。,二、平衡方程的其它形式,1. 二力矩形式的平衡方程,平面一般力系,A、B、C 三点不共线。,2. 三力矩形式的平衡方程,平

22、面一般力系,平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果，不再是独立的。可以利用这个方程来校核计算的结果。,应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。,平面一般力系,解题步如下： （1）确定研究对象。 （2）分析受力并画出受力图，在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。 （3）列平衡方程求解未知量。,平面一般力系,例,长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力偶矩，各为 。求 A 、B 支座的约束反力。,分析OA

23、杆，有,分析 杆，有,例：钢筋混凝土梁AB的计算简图如图所示，梁AB长l=4m，其上作用有均布荷载q=2kN/m，以及集中力F1=F2=1kN。已知a=0.5m，b=1m，试求A,B两处的支座反力,解：取整个钢筋混凝土梁为研究对象，画出受力图。,列平衡方程，求解未知量，如图所示选直角坐标系，列平衡方程：,求解得：,自重为W=100kN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，荷载如图所示，其中M=20kN.m，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端的约束反力。,解：以T字形刚架为研究对象，受力图如图所示， 选取直角坐标系如图所示，列平衡方程：,解方程得：,平面平行力系：各力的作用线在同

24、一平面内且互相平行的力系。,图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：,平面平行力系的平衡方程,这样，平面平行力系的平衡条件可写为：,平面一般力系,平面平行力系平衡方程的二矩式为,注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。,平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。,平面一般力系,例 塔式起重机如图示。机架重W1=220kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量W2=50kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的间距为4m。平衡锤重W3，到机身中心线距离为6m。试问：（1）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡锤重W3的范围；（2）如

25、平衡锤重W3=20kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力。,平面一般力系,解 取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的重力W2、机架的重力W1、平衡锤重W3，以及轨道的约束反力FAy和FBy，其受力图如图所示。,（1）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。 当满载时，为使起重机不绕B点翻倒，这些力必须满足平衡方程MB（F）=0。在临界情况下，FAy=0。此时求出的W3值是所允许的最小值。,平面一般力系,由MB (F)=0 W3min（6+2）+W12-W2（12-2）=0,由MA（F）=0， W3max（6-2）-W12=0,当空载时，W2=0。为使起重机不绕点A

26、翻倒，所受的力必须满足平衡方程MA（F）=0。在临界情况下，FBy=0。这时求出的W3值是所允许的最大值。,平面一般力系,起重机实际工作时不允许处于将翻倒的临界状态，要使起重机不翻倒，平衡锤重W3的范围应是：,7.5kNW3110kN,（2）当W3=20kN且满载时，起重机在力W1、W2、W3、FAy及FBy的作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程求约束反力。,由 MB（F）=0 FAy4-W2（12-2）-W3（6+2）-W12=0,由Fy=0 FAy+FBy-W1-W2-W3=0 FBy=220+50+20-25=265kN,平面一般力系,第三节 物体系统的平衡问题,在工程中，常常遇到几个

27、物体通过一定的约束联系在一起的所谓物体系统平衡问题-物体系统也称物系 当物体平衡时，系统内的每一个物体或任一个局部系统也处于平衡状态，因此，在求解物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。 在求解过程当中，注意作用力与反作用力的关系 求解物体系统的平衡问题时，首先要注意选择合适的研究对象，然后选择合适的平衡方程，解出未知力。,平面一般力系,一、静定与超静定问题,对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。 如果所考察的问题的未知数目恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为静定问题； 如果所考察的问题的未知力的

28、数目多于独立平衡方程的数目，这类问题称为超静定问题或静不定问题。,图是超静定平面问题的几个例子。 在图a、b中，物体所受的力分别为平面汇交力系和平面平行力系，平衡方程都是个。而未知反力是个，任何一个未知力都不能由平衡方程解得。,图 超静定问题的例子,在图c中，两铰拱所受的力是平面任意力系，平衡方程是个，而未知反力是个，虽然可以利用MiA求出FBy，再利用MiB或Fiy求出FAy，但Fax 及FBx 却无法求得，所以仍是超静定的。,图 超静定问题的例子,超静定结构比静定结构较经济地利用材料， 也较牢固，工程上很多结构都是超静定的。,南京长江大桥的铁路正桥是三跨连续的桁架梁，是超静定结构。,图（a

29、）是静定的；图（b）是一次超静定；图（c）又是静定的；图（d)是二次超静定。,图（a）,图（b）,图（c）,在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。,图（d）,二、物体系统的平衡,实际研究对象往往是由若干个物体组成的物体系统。系统内各物体之间的联系构成内约束。而系统与其他物体的联系则构成外约束。,土建工程上常用的三铰拱，由AC、BC 两半拱组成，连接两半拱的铰C 是内约束，而铰A 及铰B 则是外约束。对整个刚架来说，铰C 处的约束力是内力，而主动力及A、B 处的约束力则是外力。,图 三铰拱,注意：

30、外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的。,对于某个物体系统，为了求出未知的力，可取系统中的任一物体作为考察对象。对于平面力系问题而言，根据一个物体的平衡，一般可以写出三个独立的平衡方程。如果该系统共有n个物体，则共有3n个独立的平衡方程，可 以求解3n个未知数。,在解答物体系统的平衡问题时，也可将整个系统或其中某几个物体的结合作为考察对象，以建立平衡方程。但是，对于一个受平面任意力系作用的物体系统来说，不论是就整个系统或其中几个物体的组合或个别物体写出的平衡方程总共只有3n个是独立的。,注意：此3n 个独立平衡方程，是就每一个物体所受的力都是平面任意力系的情况得出的结论，如果某一物体

31、所受的力是平面汇交力系或平面平行力系，则平衡方程的数目也将相应减少。,联合梁支承及荷载情况如图所示。已知FP110kN，FP220kN，试求约束反力。 图中长度单位是。,附图,例题,解：联合梁由两个物体组成，共有6个独立的平衡方程，而约束力的未知数也是6，所以是静定的。,首先以整个梁作考察对象， 示力图如下：,FAxFP2cos6010kN,可得,取BC 作为考察对象，作示力图。,Fix0， FCxFP2cos600 FCx FP2cos6010kN MCi0， FB3msin601.5m0 FB8.66kN Fiy，FB FCy FP2sin600 FCy 8.66kN,再分析整体受力图 ，

32、可写出两个平衡方程求解。,MiA0 FD4mFB9mFP12m FP2sin607.5m 解得 FD18kN Fiy= FAyFDFBFP1FP2sin60 0 得 FAy0.66kN,例 如图示一起重架，由于AC、BD、AE通过A、B、D连接而成，E端为固定端支座，在横杆AC的C端悬一重物、其重量为6kN。各杆的自重不计，试求固定端支座的反力及杆BD所受的力。,a),b),c),d),平面一般力系,例 题,支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知杆AC=CB；杆DC与水平线成45o角；载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰

33、链A的约束力和杆DC所受的力。,例题3-1,取AB 杆为研究对象，受力分析如图。,解：,解平衡方程可得,若将力FAx和FAy合成，得,外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kNm，l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及支座B的约束力。,例题3-2,取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程,解方程。,解：,如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。,例题3-3,由平衡方程,解方程得,取梁为研究对象，受力分析如图,解：,例题3-4,一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设