振动12-1,2.ppt

1、第十二章,机械振动,2,教学基本要求,一 掌握描述简谐运动的各个物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系.,二 掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析.,三 掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义.,四 理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点.,五 阻尼振动、受迫振动和共振（不要求）.,3,本章内容,12-1 简谐振动 一、弹簧振子的简谐振动 二、简谐振动的速度和加速度 三、 简谐振动的特点 12-2 简谐振动的描述 一、描述简谐振动的几个重

2、要物理量 二、简谐振动的旋转矢量图表示法 12-3 简谐振动的能量 12-4 简谐振动的合成 12-5 阻尼振动、受迫振动和共振(不要求),4,关于振动,一、什么是振动,从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。 从广义上说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。,5,二、什么是机械振动,机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。其运动形式有直线、平面和空间振动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.,三、研究机械振动的意义,不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有相同的描述方法。 研

3、究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。,6,机械振动视频,7,研究简谐振动的意义,在一切振动中，最简单和最基本的振动为简谐振动； 任何复杂的振动都可以看成是若干简谐振动的合成。,一、弹簧振子的简谐振动,121 简谐振动,简谐振动,复杂振动,合成,分解,1、弹簧振子,8,2、弹簧振子简谐振动的 定性分析,3、物体作简谐振动的条件,物体的惯性 阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力驱使系统回复到平衡位置,9,4、弹簧振子的动力学特征,取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为 x 轴的正方向。,力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为回复力。,简

4、谐振动的 微分方程,令,10,其通解为：,5、简谐振动的运动学方程,简谐振动的微分方程：,简谐振动的运动学方程,当然写出正弦函数形式也是微分方程的解，,但是我们多采用余弦函数的形式。,取,二、简谐振动的速度和加速度,12,取 作图,把 x、v、a 放在同一张图上,说明： 物体在简谐振动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的； 简谐振动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。,可以看出 x 比 v、 v 比 a 的相位各落后 /2。,13,三、简谐振动的特点,1、从受力角度来看动力学特征,2、从加速度角度来看运动学特征,3、从位移角

5、度来看运动学特征,说明： 要证明一个物体是否作简谐振动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； 要证明一个物体是否作简谐振动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。,例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为 m 的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。,因此 , 此振动为简谐振动。,以平衡位置O为原点,弹簧原长,挂m后伸长,某时刻m位置,伸 长,受弹力,平衡位置,解：求平衡位置,k,15,122 简谐振动的描述,1、振幅反映振动幅度的大小,定义：,振幅A，是作简谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值。,说明,振幅恒为

6、正值，单位在国际单位制为m，但有时也用cm; 振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。 （如何确定后面讲）,一、描述简谐振动的几个物理量,16,2、周期与频率反映振动的快慢,周期,定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T 表示，单位为秒(s)。,频率,定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用 表示，单位为赫兹 (Hz)。,17,3、圆频率（角频率）,定义：物体在 2 秒时间内所作的完全振动的次数，用 表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s -1)。,说明：,1. 简谐振动的基本特性是它的周期性；,2. 周期、频率或圆频率均由振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频

7、率或固有圆频率。对于弹簧振子,18,简谐振动的表达式可以表示为,19,结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。振动周期为：,当 时,例： 求摆长为 l 的单摆的振动周期 T 。,解：摆球对C点的力矩,20,例：求复摆的振动周期 T 。,结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。振动周期为：,当 时,轴,21,例、一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。,解: 船静止时浮力与重力平衡，,以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为 y 轴，船在任一位置时，船的位移用y 表示。,船的位移为 y 时船所受合力为：,- 号表示方向向上,22,船在竖直方向作简谐振

8、动，其角频率和周期为:,如果 m107 kg, S =103 m2, 103 kg m-3,则周期 T 6秒,23,相位,初相位,相位差,定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。,对于两个同频率简谐运动、同时刻的差相位,说明,j 0 质点2的振动超前质点1的振动 j 0 质点2的振动落后质点1的振动 j =2k， k=0,1,2,， 同相（步调相同） j =(2k+1)，k=0,1,2,，反相（步调相反）,对于一个简谐振动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的振动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。,书上用

9、0表示,3、相位反映振动的状态,24,4、常数 A 和j 的确定,说明： (1) 一般来说j 的取值在和 (或0和2) 之间； (2) 在应用上面的式子求j 时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值； (3)常用方法：由,求A，然后由 两者的共同部分求j 。,25,例：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为 k = 0.72 N/m，物体的质量为 m = 20 g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到 0.04 m 处静止释放，求振动方程。,解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、和即可。由题可知，k = 0.72 N/m，m = 20g = 0.02 kg，x0 =0.04 m，

10、v0 0，代入公式可得,又因为 x0 0， 初速度 v0 0，,因而简谐振动的方程为：,可得,26,例：质点作简谐振动，振动曲线如图所示，试根据图中数据写出振动表达式。,解：设振动表达式为,求A，由图可见：A = 2 m,求，当 t = 0 时,求，当 t = 1s 时,所以振动方程为,27,二、简谐振动的旋转矢量图表示法,28,二、简谐振动的旋转矢量图表示法,29,30,31,（旋转矢量旋转一周所需的时间）,用旋转矢量图画简谐振动的 图,32,相位差：表示两个相位之差 .,1）对同一简谐振动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.,33,2）对于两个同频率的简谐振动，相位差表示它们之间步

11、调上的差异.（解决振动合成问题）,34,初相不同的谐振动,初相不同的谐振动,35,例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 k = 0.72 N/m，物体的质量 m = 20 g. （1）把物体从平衡位置向右拉到 x = 0.05 m 处停下后再释放，求简谐振动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度； （3）如果物体在 x = 0.05 m 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 v0 = 0.30 m/s，求其振动方程。,36,解：（1）,由旋转矢量图可知,37,解：,由旋转矢量图可知,（负号表示速度沿 轴负方向）,（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；,38,解：,因为 ，由旋转矢量图可知,所以,（3）如果物体在 x = 0.05 m 处时速度不等于零，而是具有向右的初速度 v0 = 0.30 m/s，求其振动方程。,作业,39,40,例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐振动，其振幅为 0.08 m，周期为 4s，起始时刻物体在 x =0.04m处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1）t = 1.0 s 时，物体所处的位置和