第2章计算方法.ppt

1、1.计算方法电子教案，华中科技大学计算方法计算机辅助设计中心，2。第二章插值方法1简介2拉格朗日插值多项式3牛顿插值多项式4分段低阶插值5三次样条插值3，1简介1.1插值问题的公式在生产和科研中有各种各样的作用。在实际问题中，经常会遇到这样的情况，尽管可以得出结论，所考虑的函数存在并且在区间内是连续的，但是很难找到它的解析表达式，并且在有限数量的点上的函数值(即函数表)只能通过实验和观察来获得。显然，很难使用这个函数表来分析函数的行为，甚至在某些点上直接找到函数值。在某些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于其结构复杂，使用起来非常不方便。面对这些情况，人们总是希望能够根据所获得的函数表

2、(或具有复杂结构的解析表达式)构造一个简单的函数P(x)作为近似值。插值是解决这类问题的一种古老但常用的方法。它不仅广泛应用于生产实践和科学研究，也是进一步研究数值计算方法的基础。设函数y=f(x)在区间a和b中是连续的，取n 1个不同点上的值，在一类函数中找到一个简单的函数p(x ),它具有优良的性质，易于计算，因此它可以作为f(x)在其它点上的近似值。这个区间叫做插值区间，点是插值节点，(1.1)是f(x)的插值条件，函数类是插值函数类，p(x)是函数在节点(1.1)、(6)的插值函数。求插值函数p(x)的方法称为插值方法。用不同的插值函数类方法，得到的插值函数p(x)具有不同的逼近f(x

3、)的效果，其选择取决于使用的需要。代数多项式、三角多项式和有理函数是常用的。当选择代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题称为多项式插值。在多项式插值中，最常见和最基本的问题是寻找一个次数不超过n，7，(1.2)的代数多项式，其中它是一个实数。满足插值条件(1.3)的多项式(1.2)称为节点处函数f(x)的n次插值的多项式。n次插值多项式的几何意义：在曲线y=f(x)上做一条n次到n 1点的代数曲线，作为曲线y=f(x)的近似，如图2-1所示。(1.3)，8，9，1 .2插值多项式的存在性和唯一性由插值条件(1.3)已知，插值多项式的系数满足线性方程(1.4)，这是线性代数已知的。线性方程的系

4、数行列式(标为V)是1阶和10阶的范德蒙行列式，因为它是区间上的一个不同的点，上述公式因此得出以下结论：定理1如果节点彼此不同，那么满足插值条件(1.3)的子插值多项式(1.2)存在并且是唯一的。拉格朗日插值多项式在最后一节中，我们不仅指出了插值多项式的存在性和唯一性，而且给出了它的一个解，即通过求解线性方程(1.4)来确定它的系数。然而，这种方法计算量大，不便于实际应用。这里有一些简单的解决方法。2.1插值基函数首先考虑简单的插值问题：对于节点中的任何一点，做一个n次多项式，这样它在该点取值1，在其他点取值0，也就是说，(2.1) (2.1)表示所有的n点都是n次多项式的零，所以它可以设置为

5、12，这里它是一个待确定的系数，所以(2.2)根据条件对应每个节点。很容易看出，这组多项式只与节点的选择有关，它们被称为N次基本插值多项式或N次插值基函数。13，2.2拉格朗日插值多项式可以立即写出满足插值条件(1.3)的N次插值多项式(2.3)。事实上，因为每个插值基函数都是一个N次多项式，所以它的线性组合(2.3)必须是一个N次或更小的多项式。同时，很容易验证节点处多项式(2.3)的值是否符合条件(2.1)。因此，形状为(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为(2.4)和(14)。作为的特殊情况，让n=1，并从(2.4)中得到两点插值公式，即它是一个线性函数，近似由线性函数代替，

6、而在几何上，一条直线近似由曲线上的两点代替(见图2-2)，因此两点插值也称为线性插值。如果n=2，通常使用的三点插值公式可以从(2.4)、(2.5)、(2.6)、(2.7)、(、)、(、)、(、)、(、(、)、(、)、(、)、(、)X、X、y、X、X、X、X、y、X、X、X、y、X、X、y、X、l、-、-、-、-、-、-、-、-中获得。实施例1通过线性插值和抛物线插值获得的值是已知的图2-2，16，因为115在100和121之间，所以节点x0=100，x1=121具有y0=10，y1=11。因此，通过线性插值公式(2.5)获得的近似值如下，图2-3，17，18，图2.3插值余数被插值区间a和b

7、中的插值多项式近似代替，除了在插值节点xi没有误差之外，其他点一般都有误差。如果记住它，它是当它被近似代替时产生的截断误差，它被称为插值多项式的余数。在定理2中，误差的估计公式如下。定理2被设置为在区间上具有一阶导数，这是区间上的n 1个不同节点。如果它是满足：20条件的N次插值多项式，那么对于任何一个，它都依赖于它。插值条件证明插值节点都是零，所以(2.10)是一个待定函数。让我们来问一下，当一个辅助函数应用于不同于区间的任何点时，不难看出以下特征： (2.11)，(2.9)，21，(2)在上部有n 1的导数，(2.12)方程(2.11)表明在上部至少有n 2个不同的零。根据罗尔定理，上半部

8、分有两个不同的零点，至少有n 1个不同的零点，如果再应用罗尔定理，至少有n个不同的零点。继续上面的讨论，至少有一个零。如果它被写成，那么(2.12)可以被代入(2.10)得到(2.9)。对于(2.9)，这显然是真的。在示例1中，分别通过线性插值和抛物线插值来计算的近似值，以尝试估计它们的截断误差。为了求解通过线性插值获得的近似值，截断误差通过插值余数公式(2.9)已知为x0=100，x1=121，x=115，因此，当通过抛物线插值获得近似值时，截断误差将被替代，即2.4插值误差。在许多情况下，它应该由余数公式(2.9)直接估算如果通过两点的线性内插获得的近似值被表示为，并且通过两点的线性内插获

9、得的近似值被表示为，那么从余数公式(2.9)，24，(2.13)可以知道，假设间隔中几乎没有变化，上述两个公式被划分以获得近似公式，即，近似公式(2.13)示出了可以通过两个结果的偏差来估计内插误差， 其直接使用计算结果来估计误差。示例3在示例1中，当用作节点时，计算近似值。 类似地，当用作节点时，可以计算另一个近似值。(2.13)可以估计插值结果的误差为33，360，25、和3牛顿插值多项式。从线性代数可知，任何不高于n次的多项式都可以表示为函数的线性组合，即满足插值条件的n次多项式可以写成待确定的形式。这种形式的插值多项式叫做牛顿牛顿插值多项式，我们把它写成nx，也就是，(3.1)，26。

10、因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式。与拉格朗日插值多项式相比，它不仅克服了“增加一个节点必须重启整个计算机工作”的缺点，而且节省了乘法和除法的运算次数。同时，牛顿插值多项式中使用的差和差商的概念与数值计算的其他方面密切相关。3.1前向差分和牛顿插值公式假设等距节点处的函数X的函数值是已知的，其中H是一个正常数，称为步长。两个相邻点与该点函数值之差是函数X的一阶正差，H为步长，称为一阶差。27、一般来说，定义函数x在某一点的m阶差是为了便于计算和应用，通常以表2-1所示的表格形式计算。表2-1、28。在等距节点的情况下，牛顿插值多项式3.1的系数可用差分表示，所得公式可以简化。事实

11、上，可以立即获得插值条件，然后可以获得插值条件。通常，可以获得插值条件，29。因此，满足插值条件的插值多项式是有序的，并且注意，它可以被简化为由前向差分表示的插值多项式，这被称为牛顿前向插值公式。它适用于计算表头附近的函数值。根据插值余数公式2.9，预插值公式的余数项为：32，30，(3.3)例4从给定正弦函数表2-2的左两个列表中计算，并估计截断误差。31，因为此时0.12在0.1和0.2之间，所以采用该解决方案。为此，构建差异表22。表格中矩形框中的每个数字依次是函数值和各阶差。如果sin0.12的近似值是通过线性插值获得的，则第二插值的三次插值可以立即从预插值公式3.2: 0.32获得，

12、因为它非常接近，并且从差值表22可以看出，三阶差值接近于常数(即，接近于零)，因此它被视为的近似值。此时，从残差公式(3.3)可以知道截断误差3.2向后差分和牛顿向后插值公式在等距节点下。除了前向差分外，还可以引入后向差分和中心差分，它们的定义和标记如下：一阶后向差分和m阶后向差分以H为步长在点处分别为0.33，一阶中心差分和m阶中心差分以步长在点处为每阶后向差分和中心差分的计算，可以通过构造后向差分表和中心差分表来完成。通过使用后向差分，可以简化牛顿插值多项式(. 1)，并且可以导出类似于牛顿插值公式3.2的公式，即，如果将节点的排列顺序视为，则. 1)可以写成34。根据插值条件，可以得到用

13、后向差分表示的插值多项式，其中t0和切割多项式(3.4)简称为牛顿后向插值公式。它适用于计算页脚附近的函数值。从插值余数公式(. 9)，可以写出插值后公式的余数，并且已知函数表的(3.4)、(35)和(3.5)示例是相同的示例，并且计算和估计截断误差。因为0.58位于表的末尾，所以sin的近似值(0.58)是通过使用插值公式(3.4)来计算的。一般来说，为了计算函数的每一阶的后向差，应该构造一个后向差表。然而，从前向差和后向差的定义可以看出，后向差表和前向差表在相同功能表的数据上是相同的。因此，表中每个标有 线的数字依次给出了该处的函数值和后向微分值。因为三阶后向差接近常数，所以通过三次插值计算，然后，通过后插值公式(3.4)获得36。由于整个计算中只使用了