第五章线性方程组的直接解法.ppt

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1、1,第五章线性方程组的直接解法 /* Direct Methord for Solving Linear Systems */,上一页下一页返回,第一节 Gauss消去法,第二节直接三角分解方法,第三节方程组的性态与误差估计,2,求解,上一页下一页返回,3,1 Gauss消去法,一、高斯顺序消去法,是一种古老的求解线性方程组的方法, 按自然顺序进行消元的方法.,上一页下一页返回,4,例1 解方程组,解：step1 消元,上一页下一页返回,5,Step2 对上三角形方程进行回代求解, 得,下面我们来一般性地讨论求解n阶线性方程组的高斯顺序消去法.,上一页下一页返回,6

2、,消元,上一页下一页返回,7,Step 2：一般第 k 次消元 (1k n-1),上一页下一页返回,8,上一页下一页返回,9,Step 3：继续上述过程, 且设 aii（i-1）0(i=1,2,n-1),直到完成第 n-1 次消元, 最后得到与 A(0)x=b(0) 等价的三角形方程组 A(n-1)x=b(n-1).,将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.,上一页下一页返回,10,回代,定理,若A的所有顺序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。,注：

3、事实上，只要 A 非奇异，即 A1 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。,上一页下一页返回,11,高斯顺序消去法流程图,上一页下一页返回,12,顺序消去法的缺点为当主元akk(k -1)=0时, 消元过程不能继续进行. 或者当akk (k -1) 0时, 虽然消元过程可以进行, 但若akk (k -1) 0时, 时, 会出现很小的数作除数的现象,使舍入误差增大,导致解的严重失真.,上一页下一页返回,13,例：解方程组,/* 精确解为 */,用Gauss消去法计算：,二、主元素消去法,上一页下一页返回,14,由上例可以看出,为提高算法的数值稳定性

4、, 应选取绝对值尽可能大的元素作主元.,上一页下一页返回,按列部分选主元的消去法也称列主元消去法。,15,解：,上一页下一页返回,16,一些特殊情况, 主元就在对角线上,不需选主元.,元素满足如下条件的矩阵,即对角线上每一元素的绝对值均大于同行其他各元素绝对值之和,这样的矩阵称为按行严格对角占优矩阵,简称严格对角占优矩阵.,例：,性质：严格对角占优矩阵必定非奇异.,上一页下一页返回,17,三、高斯-约当消去法（求矩阵逆）,与 Gauss消去法的主要区别：, 每一步不计算 lik ，而是先将当前主元 akk(k-1) 变为 1;, 把 akk(k-1) 所在列的上、下元素全消为0

5、;,这种方法是不是比Gauss消去法更好?,Gauss消去法过程中，消去对角线下方和上方的元素，称这种方法为高斯-约当消去法.,上一页下一页返回,这种方法不用回代过程了，看上去是要好些？,18, 运算量 /* Amount of Computation */,由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。, Gauss消去法:,(n k) 次,(n k)2 次,

6、(n k) 次,消元时乘除次数：,1 次,(n i +1) 次,回代时乘除次数：,Gauss消去法的总乘除次数为，运算量为级。,上一页下一页返回,19, Gauss-Jordan 消去法:,运算量约为。故通常只用于求逆矩阵，而不用于解方程组。求逆矩阵即。,上一页下一页返回,20,2 直接三角分解法,一、 LU分解法 /* LU Factorization. */,就 n=3的情况分析顺序消去法的消元过程.,上一页下一页返回,21,可见, 消元过程相当于下述矩阵乘法运算：,由分块乘法可得：,直接计算可得,由(*)式可得,上一页下一页返回,22,Step 1:,以上分析推广

7、到n阶线性方程组可得,上一页下一页返回,23,单位下三角阵 /* unitary lower-triangular matrix */,A 的 LU 分解 /* LU factorization */ 也称 A 的Doolittle分解,上一页下一页返回,24, 道立特分解法 /* Doolittle Factorization */： LU 分解的紧凑格式 /* compact form */,根据矩阵乘法法则,先比较等式两边第1行和第1列元素有：,上一页下一页返回,25,设已定出U 的第1行到第k-1行的元素,L 的第1列到第k-1列的元素,上一页下一页返回,26,(1),

8、(2)两式就是 LU分解的一般计算公式, 其结果与高斯消去法所得结果完全一样. 避免了中间过程的计算,故称为A的直接分解公式.,上一页下一页返回,27,按上图逐框求出矩阵A的LU分解,这种计算方法称为紧凑格式法。,上一页下一页返回,28,上一页下一页返回,29,例：利用系数矩阵的LU分解, 求解方程组,解：LU分解的紧凑格式为,上一页下一页返回,30,则求解原方程组等价于求解下面两个方程组Ly=b及Ux=y,上一页下一页返回,31,二、三对角方程组追赶法,若A满足Gauss消去法可行的条件，则可用LU分解法求解,其中：,上一页下一页返回,32,解方程组Ax=d分为两步，

9、即求解Ly=d和Ux=y，计算公式如下：,上述方法为求解三对角方程组的追赶法，也称Thomas算法.,上一页下一页返回,追赶法公式简单，计算量和存储量都小，整个求解过程只需要5n-4次乘除运算。,33,上一页下一页返回,三、平方根法对称正定矩阵的分解法,将对称正定阵 A 做 LU 分解,34,称为矩阵A 的乔累斯基分解,上一页下一页返回,称为对称正定矩阵A 的乔累斯基分解,利用乔累斯基（Cholesky）分解式来求解Ax=b的方法也称Cholesky方法或平方根法,35,3 方程组的性态与误差估计,上一页下一页返回,一、矩阵的条件数,例，考查以下三个方程组及其准确解,

10、其准确解,其准确解,其准确解,可以看到，后两个方程组与第一个方程组相比，系数矩阵或右端向量仅有0.0005以下的误差，但准确解却相差很大。对这样的方程组，无论用多么稳定的算法求解，一旦计算中产生误差就使解面目全非，所以该方程组的性态很差。,36,上一页下一页返回,定义：若方程组Ax=b的系数矩阵A与右端向量b的微小变化（小扰动）,将引起解向量x产生巨大变化，则称此方程组为病态方程组，其系数矩阵A称为病态矩阵，否则称Ax=b为良态方程组，称A为良态矩阵 .,方程组的病态程度与Ax=b对A和b的扰动的敏感程度有关。,37,求解时，A 和的误差对解有何影响？, 设 A 精确，有误差，得

11、到的解为，即,绝对误差放大因子,又,相对误差放大因子,上一页下一页返回,38, 设精确，A有误差，得到的解为，即,(只要 A充分小，使得,大,上一页下一页返回,39, cond (A) 取决于A，与解题方法无关。,常用条件数有：,cond 1(A),cond (A),cond2 (A),特别地，若 A 对称，则,条件数的性质： A可逆，则 cond p (A) 1； A可逆， R 则 cond ( A) = cond (A) ； A正交，则 cond 2 (A) =1； A可逆，R正交，则 cond 2 (RA) = cond 2 (AR) = cond (A)2 。,上一页下一页返回,40,精确解为,A1 =,解：考察 A 的特征根,39206 1, 测试病态程度：,此时精确解为,2.0102 200%,上一页下一页返回,41,cond (H2) =,27,cond (H3) ,748,cond (H6) =,2.9 106,cond (Hn) as n ,注：一般判断矩阵是否病态，

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