第2章 连续系统的时域分析.ppt

1、1,第二章 连续系统的时域分析,2,2-1系统的微分方程及其响应,1.电路系统建立微分方程的依据 基尔霍夫电流定律（KCL） 基尔霍夫电压定律（KVL） 元件的电压电流关系（VCR）,一、系统的微分方程建立,3,2-1系统的微分方程及其响应,2.微分方程的建立过程,4,2-1系统的微分方程及其响应,3. n阶LTI连续系统的微分方程,此方程的完全解由两部分组成，这就是齐次解和特解。齐次解应满足,5,特征方程为,1）特征根为单根，微分方程的齐次解为,2）特征根有重根，假设 是特征方程的K重根，那么，在齐次解中，相应于 的部分将有K项,2-1系统的微分方程及其响应,6,3）若 、 为共轭复根，即

2、那么，在齐次解中，相应于 、 的部分为,下面讨论求特解的方法，特解的函数形式与激励的函数形式有关。将激励信号代入微分方程的右端，代入后的函数式称为“自由项”。通常，由观察自由项试选特解函数式，代入方程后求得特解函数式中的待定系数，即可求出特解。,2-1系统的微分方程及其响应,7,自由项 特解,2-1系统的微分方程及其响应,8,4.微分方程及其解的意义（P25）,9,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,1. 初始条件的确定（起始点的跳变从0-到0+ ）,在系统分析问题中，初始条件要根据激励接入瞬时系统的状态决定。,起始状态与初始状态,起始状态：在激励接入之前的瞬时系统的状态,

3、初始状态：在激励接入之后的瞬时系统的状态,10,初始条件的确定,可以利用系统内部储能的连续性，这时有,首先判断uC(0-)和iL(0-)值，然后由储能的连续性写出uC(0+)和iL(0+)，再根据元件约束特性与网络拓扑约束即可求得0+时刻其它电压、电流值。,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,11,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,2. 零输入响应与零状态响应,经典法求解系统的完全响应可分为：,完全响应=自由响应+强迫响应,系统的完全响应也可分为：,完全响应=零输入响应+零状态响应,12,零输入响应 ：当激励信号 x(t) = 0时，由起始状 态 所产

4、生的响应。（从观 察的初始时刻起，不再施加输入信号，仅由该系统本身具 有的初始状态引起的响应。）,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,1）零输入响应（ZIR）定义及求解：,由于激励信号x(t) = 0，所以系统的起始时刻不会产生跳变。所以,13,2）零状态响应（ZSR）定义及求解：,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,零状态响应 ：当起始状态 时，由激励 信号x(t) 所产生的响应。（初始状态为零的条件下，由外加输入信号引起的响应。）,零状态响应的形式为：,其中系数Azsk由跳变量 来确定。,14,：确定全响应的系数,：确定零输入响应的系数,：确定零状态

5、响应的系数,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,15,2-1系统的微分方程及其响应二、零输入响应和零状态响应,3）一阶系统的零输入响应（ZIR)和零状态响应（ZSR） 求解,一阶系统的零状态响应：经典法,：确定零状态响应的系数,公式法,16,解：,：初始条件，确定全响应的系数，,：起始条件，确定零输入响应的系数，,：跳变量，确定零状态响应的系数,1）求全响应y(t),特征根为 ，所以 ，,而,这样，全响应为,17,2）求零输入响应yzi(t),由初始条件 可求出系数 A= ，所以,由起始条件 可求出系数Azi= ，所以,18,3）求零状态响应yzs(t),由跳变量 可求出系

6、数Azs= 1，所以,或：,19,例2 一阶RC电路的零输入响应,求 t 0 的 uC、 i、 uR。,(1) 列写 t 0 的关于uC的数学模型。,uC= uR t 0,代入,因方程只适用 t0时间，故只能用物理概念法判断0+条件， 易看出：,(2) 解出 uC 。,则,关键是求电容电压 uC。,20,(3) 求i、 uR。,21,讨论, uC 在 t = 0连续(受电容电荷守恒约束)。 i =iC、uR 均在 t = 0跳变(不受电容电荷守恒约束)。, uC 、 i 、uR 所有变量均按相同指数规 律变化（特征为=RC）： 。, 电容按指数规律放电，释放的能量被电阻吸收变成焦耳热。, 时间

7、常数=RC 一个重要概念。, = RC 具有时间量纲：RC=欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒。, 的数学意义：变量曲线在 t = 0+时的切线与时间轴的交点。,= RC,= RC,= RC,22,讨论,的工程意义：,= RC, 的大小描述了变量按指数规律衰减的速率。改变 R 或 C 可改变的大小，即改变按指数规律衰减的速率。,= RC,= RC,23,例3 一阶电路的零状态响应,【实例】图示电路，t 0 的uC、 iC、 iR。已知 iS=IS（直流）。,【解】 列电路方程, 其他变量：, 采用微分方程的经典解法求uC,均不必标明零状态下标“ZS”,24,（3） 采用公式法和卷积法求uC,公式法

8、,卷积法,25,【讨论】, uC 在 t = 0连续(电荷守恒约束), 而 iC 则跳变(不受此约束)。, uC 、iC 、 iR 中的暂态均按相同指数规律变化：, uC 波形：从零始按指数上升(暂态)，经35接近稳态RIS 。, iC 波形：从零 始, t = 0+跳变到IS , 经35衰减接近稳态零。, iR 波形：从零始按指数上升（暂态），经35接近稳态IS 。, KCL： IS =iC + iR,26,例4 求解二阶系统零输入、零状态响应（例21）,A1=-3 A2=5,27,一、单位阶跃响应 s(t),2.2 阶跃响应与冲激响应,求解方法：经典法、公式法、卷积法,激励为单位阶跃信号时

9、系统的零状态响应. （LTI连续系统在零状态条件下对(t)的响应）,控制系统分析中，常用。, 用微分方程经典解法，略；, 公式法, 卷积法,28, 通过 h(t) 求 s(t)。证明如下:, 利用LTI系统零状态下的微分、积分性质，有, 若LTI系统因果，则,积分下限取0而不取0，是考虑h(t)中若含有函数的情况。,一、单位阶跃响应 s(t),29,例2-3（P29）,图29(a)的RC电路中，us(t)=(t)，求阶跃响应s(t)= uc(t),30,二、单位冲激响应 h(t),【定义】,h(t) 是指，LTI连续系统在零状态条件下对(t)的 响应。, 用微分方程经典解法，略；, 公式法,

10、卷积法,【解法】,31, t0无激励，故 t0微分方程的强迫项为零。 (t)的贡献在于在 t=0的一瞬间给因果系统提供能量，使系统从0时刻的零状态变成0+时刻的非零状态，仅此而已。, 通过 s(t) 求 h(t)。证明如下:, 利用LTI系统零状态下的微分、积分性质，有,【说明】,关于 h(t)的实验测量：,(t)实际上并不存在，实验室当然无法产生。如何测量系统的 h(t) 工程上用窄脉冲替代(t)。替代条件是：, 对于一阶系统，若窄脉冲（形状不限）的宽度远远小于系统时间常数，则具有很好的近似；, 对于二阶以上系统，若窄脉冲（形状不限）的宽度远远小于系统暂态过程的时间，则具有很好的近似。,32

11、,例2-5(p37),图2-20(a)的RC电路中，uc(0-)=0，输入信号为(t)，求冲激响应 h(t)= uc(t),33,通过 s(t) 求 h(t),34,2.4 卷积及其应用, 现在寻找求解LTI系统零状态响应的其他方法卷积积分法。,【结论】,若,则,【证明】,（证毕）,称为x(t)和h(t)的“卷积积分”,35, 卷积积分的图形解释, 想象：当0时，激励就分解为移位冲激的连续和。,利用LTI系统的性质,36,一、卷积积分的定义,【讨论】,称为x(t)和h(t)的“卷积积分”，简称“卷积”，记作, 用卷积积分求解LTI系统零状态响应，只需按( * )式积分即可，绕过了确定系统0+初

12、始条件的问题。尽管在求h(t)时仍需要确定,( * ), 卷积不只是限于求解LTI系统零状态响应，还有许多重要用途。, 虽然卷积是做无穷积分，但实际上，积分限是由x(t)和h(t)函数值的非零区间共同决定的。例如：, 若系统因果，而 x(t)从 t =接入，则, 卷积运算只适合线性系统（含时变系统），不适合非,线性系统，因为卷积所依据的是叠加原理。,37, 若系统非因果，x(t)在 t=0 接入，则,积分下限取0不取0，是考虑被积函数在 t=0 含有函数的情况。, 若系统因果，而 x(t)在 t=0 接入，则类似以上分析，有, 由于卷积积分是一种数学运算，所以可对任意两个函数 f1(t)和f2

13、(t)进行卷积运算（只要积分收敛），即, 为方便，在不致引起混淆时，将 yZS(t)简写为 y(t)，省去下标。, 信号 f(t) 的冲激分解公式，其实就是 f(t) 与(t) 的卷积积分,38,二、卷积积分的性质,（一）卷积的代数性质, 交换率, 证明：用定义式，再作变量代换即可。略。, 利用此性质，可简化卷积运算。例如, 结合率, 串联系统的 h 等于各子系统 hi之卷积。,39, 分配率, 证明：可利用定义式直接证明。略。, 并联系统的 h 等于各子系统 hi之和。, 和信号之卷积 等于各信号卷积之和。, 以上性质表明：若一个复杂系统是由若干子系统经过串、并联所组成，并且各子系统的单位冲

14、激响应已知，则总系统的单位冲激响应可以通过卷积的结合率、分配率来计算。,（二）时不变性, 证明：用定义式，再作变量代换即可。略。, 这正是LTI系统的时不变性。,40,（三）微分、积分性质, 这正是LTI系统的微分性质。,【证明】,（证毕）,交换积分和求导的次序, 微分性质, 积分性质, 该性质可重复使用。, 这正是LTI系统的积分性质。,41, 微分、积分性质联合使用,【证明】,若被求导信号为有始信号，则一定有 x()=0。,（证毕）,42,【例】试证明,【证】,（证毕）,【例】试判断下列计算的正误：,43,三、常用信号的卷积积分,3、f(t)与阶跃信号卷积,4、斜坡信号与阶跃信号卷积,1、

15、f(t)与冲激信号卷积,2、f(t)与冲激信号偶卷积,44,45,四、卷积积分的计算,例1：f(t)=t(t) ， h(t)=(t)-(t-2)，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。,1利用定义计算,=t(t) *(t)-(t-2),2. 利用常用信号卷积与有关性质计算,解：,y(t)=f(t)*h(t),=t(t) *(t)- t(t) *(t-2),46,例2：求卷积积分y(t)=e-t (t)*(t)。,解：,3. 利用卷积积分表计算,4. 利用图解法计算,1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h

16、(t-) （相乘） 5）计算积分,5. 利用数值积分法计算,y(t)=e-t (t)*(t),=（1-e-t ）(t),（教材47页表2-1）,47,卷积积分图解法:,当t-1,当-1t1,当1t2,当2t4,当t4,48,例3：已知 ， 求,解：,1）当 t 0 时，,s(t) = 0,2）当 0 t T 时，,49,3）当 t T 时，,50,【例4】信号如图，计算卷积。,【解】, 分段原则： 被积函数相同；, 积分限相同。,51,52,53,【例5】信号如图，计算卷积。,【解】,利用卷积的微分、积分性质计算。,分段线性函数，求两次导数后，只含冲激函数。本例 x(t)。,任何函数与冲激函数

17、卷积，简单。,本例函数均为有始函数，满足联合使用卷积微分、积分性质的条件。,54,55,【例6】信号如图，计算卷积。,【例】利用图形辅助法计算卷积。,56,57,例7：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中,解：,当t0：,当0t7：,当7t：,或,58, 关于卷积的进一步讨论：, 简单函数，可直接用公式法；复杂函数，图形辅助法方便。, 图形辅助法确定积分上、下限的一般规律：, 常用信号的卷积，见书p.47的表2-1。其中,这正是信号分解公式。即，信号与(t)卷积结果正是信号本身。, 卷积是作无穷积分运算，有个收敛的问题。例如，下列卷积不收敛即不存在:, x(t) 和 h(t)卷积收敛的

18、“充分条件”是满足绝对可积:, 两时间有限信号的卷积一定收敛。,59,利用转移算子求冲激响应,算子定义：p=d/dt, 1/p=-t, p n=dn/dt n 转移算子 H（p）=N (p)/D (p) 输入-输出关系为：y(t)= H（p）f (t) 算子的运算规则： 1.算子可做因式分解 2.算子方程两端算子不能随意消去 3.算子位置不能置换。,60,利用转移算子求冲激响应,1.把线性系统的微分方程转化为算子方程。 2.求出算子方程的转移算子H（p）。 3.对转移算子进行分式展开： 4.分式展开后系数的确定：,61,特征函数法求解零状态响应,考虑一阶零状态响应公式法： 称为一阶系统的特征函数，而零状态响应等于特征函数与输入信号的卷积。,62,为进一步说明特征函数，设有二阶系统的微分方程为： 与输入有关的强迫项为： 则有方程： 考虑算子后，上式可化为： 因此，当把 看成是一个新的强迫项时，零状态响应为：,63,上式g2称为二阶系统的特征函数。而把二阶系统推广