第四章弯曲内力.ppt

1、弯曲内力,第四章,4-1 概念及工程实例 4-2 梁的对称弯曲及计算简图 4-3 梁的剪力、弯矩、剪力图和弯矩图 4-4 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 4-5 叠加法作弯矩图 4-6 平面刚架和曲杆的内力,主要内容,【学 时】10（其中习题课2） 【基本要求】 1理解弯曲、平面弯曲、对称弯曲的概念及区别。 2会列剪力方程和弯矩方程。 3掌握剪力图和弯矩图的绘制。 4了解叠加法作弯矩图。 5. 掌握用微分关系绘制剪力和弯矩图。 6. 掌握平面刚架和曲杆内力图的绘制。 【重点】梁在任一指定截面处的剪力和弯矩值的计算； 列剪力方程和弯矩方程；绘剪力图和弯矩图。 【难点】弯矩、剪力和荷载集度间的微

2、分关系。,4-1 概念及工程实例,一.工程中的受弯构件 1.桥式起重机的主梁,各类桥面,2.各种横梁,3. 各类桥面,4.受风载的塔,5.火车轮轴,三. 变形特征 杆件的轴线由原来的直线变为曲线 垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动,二.受力特征 外力与杆件的轴线垂直 外力偶作用在杆轴线的某一平面内,四. 杆件轴线由直线变为曲线的变形称为弯曲变形 五. 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁,4-2梁的对称弯曲及计算简图,设 梁的任一横截面具 有对称轴 外力作用在梁的对 称面内,则梁的轴线变形后成为纵向对称内的一条平面曲线，这种变形称为梁的对称弯曲-平面弯曲(梁变形后的轴线所在平面与外力

3、所在平面相重合）的特例。,一.对称弯曲,二.梁的计算简图 1.载荷简化：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷,2.构件本身的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 3.梁支座形式的简化和支反力 根据约束的特性，平面弯曲梁的支座可简化为以下三种基本形式,这种支座使梁的端面既不能移动，也不能转动 限制移动的约束反力水平支反力FRx 和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力支反力偶MR,1)固定端,（3个约束，0个自由度）,2)固定铰支端（ 这种支座使梁的端面不能移动，但可以自由转动 限制移动的约束反力水平支反力 FRx和垂直支反力FRy,2个约束，1个自由度）,3)

4、可动铰支端 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移动，但端面可沿轴线自由移动和转动 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力垂直支反力 FRy,FRy,（1个约束，2个自由度）。,4.工程中常用静定梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,外伸梁,支座之间的长度称为梁的跨度,5. 另外，工程中亦存在许多超静定梁,4-3 梁的剪力、弯矩、剪力图和弯矩图,横截面上的内力是该截面上 应力向截面形心简化所得的主矢量和主矩 当静定梁上的外力（主动力和约束反力）确定后，可利用截面法确定梁任意横截面上的内力：,P,所以梁弯曲时，横截面上有两种形式的内力： 剪力 Fs 横截面上其作用线平行于截面的内力 弯矩 M横截面上

5、其作用面垂直于截面的内力偶矩。,实际上，梁截面左、右两端的内力是大小相等，方向相反的。这是因为它们是一对作用力与反作用力 为了截取左端梁计算所得的内力与截取右端梁计算所得的内力相同之目的，于是结合梁的变形，对梁内力的符号作了如下规定。,内力的符号规定,剪力Fs : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩； 使梁变成凸形的为负弯矩。,为负。,举例 例1 计算图示梁C处横截面的剪力和弯矩。,解 1）计算支反力FAy和FBy,从而得,P,2）计算c处横截面的内力,P,(1)考虑左段平衡,从而得,(2)考虑右段平衡,P,从而得 :,说明：截取左端梁计算所得的内力与截取右端梁,

6、计算所得的内力相同,例2 求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。,解 1)首先计算支反力FAy和By， 从而得,2) 截面1处的内力FS1、M1，,3) 截面2处的内力Fs2 ,M2,4)截面3处的内力FS3、M3，,当横截面趋于支座处时，截面上内力的绝对值等于支座处的支座约束反力值,5)当0时，,已求出：,用截面法求剪力和弯矩时应注意： 1.应先设截面上的剪力和弯矩为正。这样，如 果所求得的剪力和弯矩为正号，不仅说明原假 设方向正确，同时也说明了剪力和弯矩的符号 为正；如果求得的剪力和弯矩为负，则说明剪 力和弯矩与原设方向相反，同时说明剪力和弯 矩的符号为负。 2.要注意内力正负号与写平衡方程时有

7、关力和力 矩正负号的区别。前者是根据变形定正负号， 后者是根据力和力矩在坐标系中的方向和转向 规定正负号。,思考题 在求梁横截面上的剪力和弯矩时，为什么可直接由该横截面任一侧梁上的外力来计算？这是否说明该截面上的剪力和弯矩与另一侧梁上的外力无关呢？ 作业题 4-1 (a),(d),(e),(f),剪力图和弯矩图,通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置x的函数，可表示为 FS= FS(x)，M=M(x) 分别称之为剪力方程和弯矩方程 以梁横截面沿轴线的位置x为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力和弯矩的图分别称之为剪力图和弯矩图,剪力图和弯矩图,按一定比例将剪力的正值画在x轴的上侧，负值画在x轴的下

8、侧 按一定比例将弯矩的正值画在x轴的下侧，负值画在x轴的上侧（正弯矩画在梁的受拉侧，负弯矩画在梁的受压侧） 绘制剪力图和弯矩图的基本方法是： 首先得到梁的剪力方程和弯矩方程 FS= FS(x)，M =M(x) 其次，画出相应的剪力图和弯矩图,例 绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。,解：1确定约束力,3.依方程画剪力图和弯矩图,在集中力作用处，左右两端的剪力发生突变，突变量等于该集中载荷。 在集中力作用处，左右两端的弯矩相同，即弯矩连续变化。 在集中力作用处，弯矩图上形成一个尖角。 在集中力作用点是剪力方程和弯矩的分段点。,例 绘出如图所示简支梁的剪力和弯矩图。,解：1确定约束力,2写出剪力和弯

9、矩方程,在集中力偶作用处，左右两端的弯矩发生突变，突变量等于该集中力偶。 在集中力偶作用处，左右两端的剪力相同，即剪力连续变化。 在集中力偶作用点是剪力方程和弯矩的分段点。 载荷反对称时，剪力图对称，而弯矩图反对称。,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例 求图示简支梁截面上的剪力和弯矩。,1确定约束力,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画内力图,例 求图示悬臂梁截面上的剪力和弯矩。,解：任选一截面x ，写出 剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。 最大剪力和弯矩分别为,考虑图示平面弯曲梁，坐标系及分布载荷的方向如图所示,对载荷连续分布的梁段（集中力、集中力偶单独讨论）

10、，其横截面上的内力也是连续分布的,4-4弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系,任取一微梁段dx， 其受力为,注意：这里载荷q向上为正； 向下为负,考虑微元梁段的平衡,略去dx2高阶项，得:,从而，得剪力、弯矩和分布载荷的关系,其几何意义分别为：剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的 切线斜率等于该点处剪力的大小；载荷q向上时， 弯矩图上凸，载荷q向下时，弯矩图下凸。,根据荷载分布特性，利用剪力、弯矩和分布载 荷的这些关系，可得剪力、弯矩的分布特征。其主要性质总结如下：,当q = 0时 FS(x)=常数，剪力图为一水平直线段 M(x)为一次函数，弯曲图为一斜直线段 当q

11、 =常数时（均布载荷） FS(x)为一次函数， 剪力图为一斜直线段 当q 0 时（分布载荷向上），单调上升 当q 0 时（分布载荷向上），抛物线上凸 当q 0 时（分布载荷向下），抛物线下凸,当剪力FS(x) = 0 时，弯矩取极值 当FS(x) 0 时，弯矩为递增函数 当FS(x) 0 时，弯矩为递减函数 集中载荷作用处，剪力有突变，弯矩连续，但呈现一个尖点 集中力偶作用处，弯矩有突变，剪力连续,利用微分关系，可以不必给出具体的剪力和弯矩方程而得到剪力图和弯矩图。其一般过程如下 求支座反力 在载荷不连续（分布载荷两端、集中载荷、集中力偶）处、及支座处及梁的自然端点处分段 利用截面法求出各分段

12、点处横截面上的剪力和弯矩值（左右两端） 利用微分关系，确定各段剪力图、弯矩图的几何特征 结合各段内力图的几何特征，连接分 段点处的内力值，绘出剪力图和弯矩图,利用微分关系绘制剪力和弯矩图,例 给出如图所示的简支梁的剪力图和弯矩图。,载荷在B、C处不连续，故应将梁AD分为三段AB、BC和CD。,解：1确定约束力,2确定分段点，并分段,3. 应用截面法求截面A、B、 C和D上的内力,（2）截面B上的内力,（1）截面A上的内力,（3）截面C上的内力,（4）截面D上的内力,4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图的几何特征,5.结合各段内力图的几何特征， 连接分段点处的内力值， 绘出 剪力图和弯

13、矩图,-qa/2,例 利用微分关系，绘出图示梁的剪力和弯矩图。,解：1确定约束力,选择A、C、D、B和E为分 段点，将梁分成AC、CD、DB 和BE四段,2确定分段点，并分段,3. 应用截面法求A、C、D、B和E处的剪力和弯矩值（左右两端），列表如下,4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图 的几何特征，见下表,分段点处的剪力和弯矩值,剪力图,弯矩图,5.结合各段剪力图和弯矩图的几何特征，连接分段点处的内力值，绘出 剪力图和弯矩图,例 绘出如图所示连续梁的剪力和弯矩图。,2确定分段点，并分段,选择A、B、D和E为分 段点，将梁分成AB、 BD和DE三段,3. 应用截面法求A、B、D和E处

14、的内力值（左右两端）,5.结合各段内力图的几何特征， 连接分段点处的内力值， 绘出 剪力图和弯矩图,4. 根据微分关系，分析得出各段剪力图和弯矩图 的几何特征,4-5 叠加法作弯矩图,叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。 当梁在荷载作用下为微小变形时，其跨长的改变可略去不计，因而在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按其原始尺寸进行计算，而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系。因此，可用叠加原理求弯矩，即当梁上受几项荷载共同作用时，某一横截面上的弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面

15、上弯矩的代数和。,由于弯矩可以叠加，故表达弯矩沿梁长度变化情况的弯矩图也可以叠加，即可分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图，然后将其相应的纵坐标叠加，即得梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。,例 试用叠加原理求图示梁的弯矩,解：在距左端为x的任意横截面上的弯矩,就等于集中荷载F和均布荷载q单独作用 时，该截面上的弯矩,和,的代数和。即,4-6 平面刚架和曲杆的内力,刚架的概念 折杆中两杆之间坚固、不变形的接头称之为刚性接头 刚性接头处，相连杆件的夹角不会改变 刚性接头不仅能传力、而且能传递力矩 刚架截面上的内力包括：轴力、剪力、弯矩 由刚性接头连接各杆件而组成的结构称为刚架结构（刚架）,有一纵向对

16、称面，轴线为平面折线的刚架称为平面刚架 有一纵向对称面，轴线为平面曲线的曲杆称为平面曲杆或平面曲梁 当外载荷作用于纵向对称面时，平面刚架和平面曲杆的轴线变形仍在纵向对称面内。此时，平面刚架和平面曲杆发生平面变形,工程实例,刚架及曲杆的内力图 轴力图和剪力图可画在刚架轴线的任一侧，必须标明正负号。通常正值画在刚架（曲杆）的外侧 弯矩图画在杆件受拉一侧，可以不标明正负号,举例,例1 给出图示刚架的轴力、剪力和弯矩图。,解：对于刚架，引入两个局部坐标x1和x2。则 对于杆AB，其内力为 轴力：,剪力：,弯矩：,对于杆BC，其内力为,轴力：,剪力：,弯矩：,下面给出内力图,轴力图,弯矩图,剪力图,内力

17、图,例2 计算如图所示的四分之一圆环的内力,解：用圆心角 表示 圆环界面的位置，记截面的法向为n，切向为t。在该截面上作用有轴力,剪力,，,和弯矩,。其正方向如,由平衡方程得：,图所示。,内力图,1梁在横向载荷作用下，横截面上的内力有剪力和弯矩，分别用Fs和M表示。求剪力和弯矩的基本方法是截面法，即用一假想的截面将梁截为二段，考虑其中任一段的平衡。作用该段梁上的力既有外力也有内力（ Fs 、M），利用平衡条件即可求得截面上的剪力和弯矩。 2内力的正负号是根据变形规定的：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负；使梁下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负。,本章小结,3画剪力、弯矩图的方法可以分为二种：根据剪力、弯矩