第八章分层介质中弹性波的传播

1、第八章弹性波在层状介质中的传播，宋鹏，海洋地球科学学院地球探测信息与技术系，第七章波方程的积分解，波的起源是波源的振动，波的传播是由于介质中粒子之间的相互作用。对于一个连续分布的介质，任何一点的振动都会直接引起其附近每一点的振动，因此波中的任何一点都可以看作是一个新的波源。在第七章，波动方程的积分解中，粒子中的波传播到每个点，这些点无论是否在同一个波阵面上，都可以作为新的波源；这一系列新的波源产生二次扰动，形成球形子波；在任何时刻，这些球形子波的包络形成一个新的波前。根据惠更斯原理，未来每个时刻波前的位置可以从已知的波前获得。惠更斯原理给出了波传播的空间几何位置，菲涅耳补充了惠更斯原理，给出了

2、波到达位置的物理状态。惠更斯-菲涅尔原理表明，区域外源在区域内某一点引起的扰动可以看作是一个连续分布在区域边界表面S上的新的波源，在不同时刻发出的每个球面波都传播到该时间点，每个扰动在该点的叠加由基尔霍夫积分公式给出。第八章弹性波在层状介质中的传播地震波在地层中的传播是弹性波在层状介质中的传播。由于地层介质根据物理性质具有层状结构，所以实际地层通常称为层状介质，因此研究弹性波在层状介质中的传播非常重要。在各向同性均匀介质中，震源的波前是球形的，地震波是球形的。当球面波遇到界面时，波前发生变化。然而，当源足够远时，即源和接收点之间的距离远大于波长时，球面波可以近似视为平面波。同时，当波长小于界面

3、的曲率半径时，界面也可视为一个平面。这样，讨论可以大大简化，而不影响许多现象本质的揭示。平面谐波在自由界面上的传播规律，自由界面是指表面应力为零的界面，半无限弹性体的界面是自由界面。因为地球表面上的大气压力相对于地球内部的压力来说是非常小的，所以大气压力在讨论中可以忽略，所以地球表面可以看作是一个自由界面。由于地球介质在短期力(如爆炸)的作用下，在远离震源的大部分地区可视为弹性体，而且地球的半径远大于地震波的波长，因此地球可视为半无限弹性介质，同时地震波可近似视为平面波。平面谐波在自由界面上的传播规律三点表明，任何复波都可以看作是一系列不同振幅、不同频率和不同波长的谐波的叠加，因此只能讨论一个

4、平面谐波入射到自界面上的情况。自由界面上平面谐波的传播规律。如果平面波的传播方向垂直于Z轴(即在xoy平面或平行于xoy平面)，弹性动力学问题中的场变量取决于X和Y维度。此时，弹性动力学问题是二维问题。当讨论分层介质中的波传播时，就是讨论这种二维弹性动力学问题。在二维问题中，假设位移和只与x，y和t有关，即。(8-1)，因为位移分量只与x、y和t有关，所以二维问题的位移分量可以表示为：其中平面谐波在自由界面上的传播规律将写成矢量形式：(8-2)，其中：平面谐波在自由界面上的传播规律。(8-3)，体积应变为：自由界面上平面谐波的传播规律。将(8-3)代入物理方程，得到二维问题的应力分量：自由界面

5、上平面谐波的传播规律，3，波动方程。将(8-2)代入拉梅方程，得到用位移、张力表示的方程。方程(8-6)的第一个方程是P波方程，第二个方程是SV波方程，第三个方程是SH波方程。平面谐波在自由界面上的传播规律。平面运动和非平面运动在二维方程中，上述二维问题意味着每个量只与。平面运动意味着位移在平面上发生变化，也就是说，在这种情况下没有SH波。可以看出，在平面运动中，只有纵波和横波在平面或其平行平面内传播。非平面运动是指位移在空间上的变化，显然，在非平面运动中，只有SH波，即波的传播方向在平面或平行平面上，但位移方向是Z方向。平面谐波在自由界面上的传播规律，注意：不要把平面波与平面运动混淆，平面波

6、可以是非平面运动，如平面SH波。总之，位移分量可分为两组：1)它们与和分量相关，是平面运动；2)，它只与非平面运动相关并属于非平面运动。平面谐波在自由界面上的传播规律边界条件和波动方程解的物理意义，设半无限弹性介质，其自由边界是平面。选择如图81所示的直角坐标系，在自由界面上y=0，半无限介质。假设平面运动的平面P波和平面SV波在平面或平行平面内传播，并沿单位矢量方向进入自由界面。当P波和SV波入射时，质点的振动方向(位移方向)也在一个平面或平行平面上，这是一个平面运动的二维问题。位移位置满足公式(8-6):(8-7)的第一和第二方程，平面谐波在自由界面边界条件上的传播规律和波动方程解的物理意

7、义。平面谐波在自由界面边界条件上的传播规律及波动方程解的物理意义。将(8-4)代入(8-8)得到3360。当表示(8-9)，时，总和略高于该值。平面谐波在自由界面边界条件上的传播规律及波动方程解的物理意义。在弹性波传播的研究中，弹性介质的特性(包括弹性常数和密度)和边界条件对弹性波有着主要的影响。因此，在讨论问题时，我们只能讨论满足方程和边界条件的解，而不考虑初始条件。平面谐波在自由界面边界条件上的传播规律和波动方程解的物理意义，其中k和c都是常数(本质上，c是沿x方向的视速度)，它们只是y的函数，通过代入(8-7)得到和满足的方程是：(8-12)，因此， 常微分方程的解(8-12)平面谐波在

8、自由界面上的传播规律边界条件及波动方程解的物理意义、平面谐波在自由界面上的传播规律边界条件及波动方程解的物理意义，代入(8-15)自由界面(8-9)，得到3360、(8-16)，其中平面谐波在自由界面上的传播平面谐波在自由界面边界条件下的传播规律及波动方程解的物理意义，(8-18)，然后：(8-19)，平面谐波在自由界面边界条件下的传播规律及波动方程解的物理意义，可以看出，平面谐波是沿正方向以波速传播的平面纵波。根据(8-18)，图82中的坐标系必须指向自由边界平面，因此它是向上的P波，即入射在自由边界平面上的P波，其表示为。图82示出了入射到自由界面上的P波，平面谐波在自由界面-边界条件上的

9、传播规律以及波动方程解的物理意义，平面谐波在自由界面-边界条件上的传播规律以及波动方程解的物理意义、(8-20)，其中是P波的入射角。平面谐波在自由界面边界条件下的传播规律和波动方程解的物理意义表明，P波的入射角和反射角相等。平面谐波在自由界面-边界条件上的传播规律和波动方程解的物理意义，包含在、中的项包含项，并且同样的分析表明，它代表入射的SV波和反射的SV波，其传播速度和传播方向之和，如图83所示。图83平面谐波在自由界面-边界条件下的传播规律及波动方程解的物理意义，其中传播方向，每个方向的余弦为：(8-23)，(8-24)，平面谐波在自由界面-边界条件下的传播规律及波动方程解的物理意义，

10、根据(8-20)和(8-23)，P波和SV波的入射角和反射角之间的关系为：(8-26)，这是弹性波传播的著名的斯涅尔定律，可用于确定波的传播方向因为，因此。平面谐波在自由界面上的传播规律-边界条件和波动方程解的物理意义，平面谐波在自由界面上的传播规律-平面纵波在自由界面上的反射，只让平面纵波入射，振幅为0，入射角为0，入射自由界面，由于没有入射的横波，那么让纵波的圆波数K已知，然后入射纵波：代入边界条件(8-17)，得到：其中、被两边除，得到位移反射系数满足的方程：(8-27)。上述方程是位移振幅反射系数满足的方程，也称为诺特方程。解是：(8-28)，自由界面上平面谐波的传播规律平面纵波在自由

11、界面上的反射。由此得出结论，当平面纵波入射到自由界面上时，平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射，表明平面纵波入射到自由界面上后，不仅会产生反射纵波，而且还会产生反射SV波，称为转换波。这种现象称为模式转换。如图84所示。在均匀无限弹性介质中，纵波和横波可以独立传播而不相互耦合，而当自由界面存在时，纵波和横波通过自由界面相互耦合。入射纵波到达自由界面后会产生两个反射波(纵波和横波)。图84入射到自由界面上的纵波产生的平面谐波的传播规律平面纵波在自由界面上的反射也可以用反证法证明：如果反射波中只有纵波而没有横波，也就是说，可以推断这与入射纵波的振幅是矛盾的。可以看出，当纵波入射

12、到自由界面上时，为了满足边界条件，一般来说，必须同时有反射纵波和反射横波。根据公式(8-2)中位移势与位移场的关系，平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射，将公式(8-29)代入公式(8-30)得到：平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射、(8-31)，可以看出位移矢量场的振幅比(反射系数)等于位移振幅比乘以相应的ve的倒数平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射，很容易写成：这是位移矢量场的振幅反射系数所满足的方程，称为齐普立兹方程。(8-33)，平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射，(2)反射系数随入射角变化，称为克诺

13、特反射系数。反射系数与入射角、弹性介质的速度或弹性参数或介质的泊松比有关。根据方程(8-28)和纵波与横波的速度比，可以绘制出不同泊松比的反射系数随入射角变化的曲线。平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射，图85显示了不同条件下纵波反射系数和转换横波反射系数随入射角的变化，入射角的范围为(0，90)。(a)，(b)，自由界面上平面谐波的传播规律-平面纵波在自由界面上的反射，(c)，(d)，图85纵波克诺特反射系数(a)和佐普利兹反射系数(b)以及入射到自由界面上的纵波平面谐波在自由界面上的传播规律-平面纵波在自由界面上的反射，根据公式(8-20)，波动方程(8-7)的通解为：

14、(8-34)，平面谐波在自由界面上的传播规律平面P波在自由界面上的反射、(4)在垂直入射的情况下、当垂直入射发生时，p1和p2都是无限的，所以代入(8-28)。它的方向也垂直于自由界面，但它的方向与入射波的方向相反。两个波函数的振幅相同，相位差为180度，即半个周期。波在半个周期内传播半个波长。因此，这种现象被称为半波损失，相当于阿波罗在反射点多行进了半个波长。平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射、(5)当入射纵波到达自由界面时，当入射角使方程(8-28)满时，对于泊松比，或如图85(a)所示，对应的横波反射角或。平面谐波在自由界面上的传播规律平面纵波在自由界面上的反射负反射系数的解释对于入射到自由界面上的纵波，除了平面谐波在自由界面上的逆反射传播规律平面纵波在自由界面上的反射平面SV波在自由界面上的反射之外，反射系数在大多数情况下都是负的，如泊松比。开始时，当它到达时，它被称为临界角。当小于临界角时，正常产生反射横波和反射纵波。