概率论与数理统计浙大第四版答案 第四章

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计 习题四解答习题四解答 3. 利用定理 2 的结论计算 2分布的期望与方差。 解：设随机变量，由定理 2 知， )( 2 ny, )()(, )()( 1 2 1 2 = = n i i n i i xdydxeye 其中xi为相互独立的随机变量，且ninxi, 2 , 1),1 , 0(l=.于是 1 2 1 2 1 2 1 )( 222 22 222 = = + + + dxexedxexxe xxx i 所以 nye=)(. 又 1 2 1 )()()( 2 42242 2 = + dxexxexexd x iii 2131)(31 2 3 2 1 2

2、2 2 2 3 22 = = + + i xx xedxe x ex ， 所以 . nyd2)(= 解二：. nxexdxeye n i n i ii n i i =+= =11 2 1 2 01 )()()()( 4.试证明定理 5. 证：因为，所以由定理 1 得：),( 2 nx) 1 , 0( / n n x .再由定理 4 得： ) 1() 1( ) 1( / 2 2 ntn sn n x 即： ) 1( / )( nt ns x . 6.设总体),(x试求)()( 2 sexd及. 解：因为),(x 所以=)(,)(xdxe.于是 n n xd n x n dxd n i n i i

3、 n i i = = =1 2 1 2 1 1 )( 11 )( = = = = )()( 1 1 1 1 )( 1 1 )( 2 1 2 2 1 2 1 22 xnexe n xnxe n xx n ese n i i n i i n i i = = + = + = = )( 1 1 1 1 )()()()( 1 1 22 2 1 2 n nn nnn n xexdnxexd n n i ii 7. 设总体x在0，b上服从均匀分布，b 未知。试就样本值(1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1)，求 b，及及的矩估计值。 )(xe)(xd 解：2 . 1) 1 . 13 . 02 .

4、27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 =+=x. 2 )(, 0 b xebx=的均匀分布，q. 令2 . 1)( 4 . 2 2 . 1 2 =xeb b 得 又 ),()()( 22 xexexd= 14. 02 . 1)1 . 13 . 02 . 27 . 16 . 03 . 1 ( 6 1 )( 2222222 +=xd所以. 8. 已知总体x在a, b上服从均匀分布，a, b 未知，是一个样本，试求 a, b 的 极大似然估计量。 ),( 21n xxxl 分析：x 的概率密度为 = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf， 似然函数为, )( 1 ),( n ab b

5、al = nixi, 2 , 1, 21 l= ，)ln(),(lnabnbal=. 显然 = = = = 0 ),(ln 0 ),(ln ab n b bal ab n a bal 无解。由此不能求得 a, b 的极大似然估计量。 解：x 的概率密度为 = 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf， 似然函数为, )( 1 ),( n ab bal = nixi, 2 , 1, 21 l= ， 对于给定的样本值，现在要求出使得),( 21n xxxl n ab bal )( 1 ),( =最大的 a, b 的值。 ）尽可能地小，最大，则应使（欲使abbal),(而相对于给定的样本值来说，

6、),( 21n xxxl 对于，若将 xbxai i 有, 1,x2,xn 按由小到大重新排序，记为 ，则a, b必须满足的是，故a, b的极大似然估计值应取为 * 2 * 1n xxxl bxxxa n * 2 * 1 l . = = max min * * 1 i i n i i xxb xxa 9. 给定一个容量为n的样本(x1, x2,， xn),试用极大似然估计法估计总体的未知参数， 设总体 的概率密度为 （1） = 0, 0 0, )( x xe xf x （3） = 0, 0 , 0,)( )( 1 x xex xf x 已知 解： （1）似然函数为， = = += n i i

7、n i i n n i i xnlxxl 11 1 1 1 ) 1(ln)(ln,)( 令 = = =+= n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的极大似然估计量为：得 （ 2 ） 似 然 函 数 为， = = = = n i i x n n i x xnleel n i i i 11 ln)(ln,)( 1 = = = n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的极大似然估计量为：得 （3）似然函数为 ,)()( 1 1 1 1 1 = = = = n i i x n n i x i xeexl n i i i ）（ =

8、 += n i i n i i xxnnl 11 ) 1(lnln)(ln = = = n i i n i i x n x n l d d 1 1 , 0)(ln 的极大似然估计量为：得 10设(x1, x2,，xn)为)(的一个样本。试证 （1）样本方差s2是的无偏估计。 （2）对任一， 2 )1 (, 10sx+也是的无偏估计。 解： （1）因为 = = = 2 1 2 1 22 1 1 )( 1 1 )(xnxe n xx n ese n i i n i i + = = = n i ii n i i xexdnxexd n xnexe n 1 222 1 2 )()()()( 1 1 )

9、()( 1 1 = = + = = n nn n n n i 1 1 )( 1 1 2 1 2 所以s2是的无偏估计。 （2）因为x与s2均是无偏估计，所以=)(,)( 2 xsxe，故 =+=+=+)1 ()()1 ()()1 ( 22 sexesxe 于是对任一， 2 )1 (, 10sx+也是的无偏估计。 11对方差为已知的正态总体来说，需抽取容量 n 为多大的样本，才能使总体均值 2 的置 信度为)1 (的置信区间的长度不大于给定的正数 l？ 解：因方差为已知，由 2 ) 1 , 0( / n n x u =得： = 1 / 22 z n x zp 所以的置信度为)1 (的置信区间的长

10、度为 n z 2 2 ，要使 n z 2 2 l z n . 12. 已知样本值为 (3.3,-0.3,-0.6,-0.9 )，求 （1）当 =3 时，正态总体均值 的 95%的置信区间； （2）当 未知时，正态总体均值 的 95%的置信区间。 解：965. 1375. 0=sx （1）当 =3 时，由) 1 , 0( 2/3 / n x n x u = =，所以 95. 096. 1 2/3 96. 195. 0 2/3 22 = = x pz x zp 故，正态总体均值 的 95%的置信区间为)94. 2,94. 2(+xx 代入样本值得正态总体均值 的 95%的置信区间为（-2.565，

11、3.315） 。 （2）当 未知时，由)3( 2/ ) 1( / t s x tnt ns x t = =即，所以 95. 01824. 3 2/ 1824. 395. 0) 3( 2/ ) 3( 22 = = s x pt s x tp 故正态总体均值 的 95%的置信区间为)5912. 1,5912. 1(sxsx+ 代入样本值得正态总体均值 的 95%的置信区间为（-2.751，3.501） 。 13. 随机地从某厂所生产的两批同种产品中分别抽查，获得质量指标的数据如下： a 批: 0.143, 0.142, 0.143, 0.137 b 批:0.140, 0.142, 0.136, 0

12、.138, 0.140 设测试的数据分别服从和，且相互独立，未知。试求),( 2 1 n),( 2 2 n 2 21 的 95% 的置信区间，并说明是否可以认为这两批产品的质量上有明显差异？ 解： 由 )7( 7 43 20 9 )()( )2( 11 )()( 2 2 2 1 21 21 21 21 t ss yx nnt nn s yx + + + 即得： 95. 0)7( 7 43 20 9 )()( )7( 2 05. 0 2 2 2 1 21 2 05. 0 = + t ss yx tp 故 21 的 95%的置信区间为 + + + 7 43 20 9 3646. 2)(, 7 43

13、 20 9 3646. 2)( 2 2 2 1 2 2 2 1 ss yx ss yx 代入样本值0023. 01392. 00029. 01413. 0 21 =sysx得： 21 的 95%的置信区间 为（-0.002，0.006）. 14. 现有某种型号电子管的容量为 100 的样本，其寿命的样本标准差45=s。试给出这批电子 管寿命总体（设为正态总体）标准差的 95%置信区间。 解：由) 1( ) 1( 2 2 2 =n sn k ，知95. 0) 1( ) 1( ) 1( 2 2 2 2 2 2 1 = n sn np ， 即 95. 0 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2

14、2 1 2 2 2 2 2 = n sn n sn p 因为05. 0,45,100=sn，12811002 2 1 )99( 2 2 05. 0 2 2 05. 0 = +z， 96.7211002 2 1 )99( 2 2 05. 0 1 2 2 05. 0 1 = + z，代入不等式 ) 1( ) 1( ) 1( ) 1( 2 2 1 2 2 2 2 2 n sn n sn 得的 95%置信区间为(1566.21,2747.74), 从而标准差 2 的 95%置信区间(39.58,52.42)。 15. 今为检查两工人生产技能的稳定性， 从其在某天里所出产品中分别抽取容量为 25 和 15 的 两个样本，求得样本方差分别为。设两样本均来自正态总体，试求方差 比 15. 5, 4 . 2 2 2 2 1 =ss 2 2 2 1 的 90%置信区间，并说明能否确认他们俩人在生产水平的稳定性方面有明显差异？ 解： 1 . 0,15. 5, 4 . 2,15,25 2 2 2 121 =ssnn 由) 115, 125( 2 2 2 1 2 2 2 1 =f ss f