全概率公式与贝叶斯公式

1、2.2. 全概率公式与贝叶斯公式,解,2.2.1全概率公式, 0.6,一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地每次任取只，连取次，求第二次取到白球的概率。,例,A=第一次取到白球,全概率公式,设1 ，2 ，.，n 构成一个完备事件组，且(i )0，i1，2，.，n，则对任一随机事件，有,定理（全概率公式）,例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5，2，1.5，1，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率,解,设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子

2、的事件分别是1，2，3，4，则它们构成完备事件组，又设表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式：,95.50.520.151.50.110.05,0.4825,例 在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的一架飞机. 已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位的概率分别是0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。,解,设B1，B2，B3，B4，分别表示炮弹击中发动机、机舱、其他部位以及未击中飞机的事件，A为飞机坠毁的事件。已知P(B1)=0.10, P(B2)=0.08, P

3、(B3)=0.39, P(B4)=1-0.10-0.08-0.39=0.43,则由全概率公式：,例 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，问第二个人取得黄球的概率是多少？,解,设A为“第二个人得黄球”的事件。B表示“第一个人得黄球”的事件，则由全概率公式：,例 5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次。（1）若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；（2）若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率。,解,（1）不放回抽样的情况,由全概率

4、公式得：,（2）有放回抽样的情况,2.2.2贝叶斯公式 Bayes Theorem,后验概率,设A1，A2，, An构成完备事件组，且诸P（Ai）0) B为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有,( k =1 , 2 , , n),证明,定理贝叶斯公式 Bayes Theorem,例1 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率,解,设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品 显然，1 ，2 ，

5、3 构成完备事件组依题意，有,(1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%,(1|),例2 已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,解,设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。,则,C表示抽到的人有色盲症。,由Bayes公式有,例3 某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的。考生不知道正确答案的概率为1/4，不知道正确答案而猜对的概率为1/6。现已知某考生答对了，问他猜对此题的概率有多大？,解,设 A表示“考生不知道正确答案”，B表示“考生答对了考题”。则,由全概率公式得：,由贝叶斯公式得：,例4 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以C表示“被诊断者患有癌症”，则有,解,例5 已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为次品的概率为0.02，而次品被误认为正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率。,解,设 A表示“产品是正派品”，B表示“通过检验产品被认为是正品”。则,由全概率公式得：,由贝叶斯公式得：,例6