反比例函数k的几何意义（第4课时）

1、1、什么是反比例函数？它的一般形式是什么？ 2、反比例系数可以取哪些值，取值不同对图像有影响吗？ 求反比例函数解析式的方法是什么？,如果两个变量x、y之间的关系可表示为 （k为常数，k0）的形式，那么，称y是x的反比例函数。,k0, K值决定反比例函数图像所在象限， 当k0，图像在第一、三象限；当k0，图像在第二、四象限,待定系数法,复习反馈，导入新课,学习目标,1.理解并掌握反比例函数中K的几何意义； 2.能灵活运用K的几何意义求图形面积； 3.能根据图形面积求出K值,2、若点P(m,n)在反比例函数 图像上，则mn= _,1、若点P（2,3）在反比例函数 的图像上，则k=,复习反馈，导入新

2、课,6,6,3、如图，S矩形ABCD= SABD=_ S矩形ABCD与SABD有何关系？,6,3,SABD= S矩形ABCD,4、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线 若P的坐标是（-1,3）则PM=_,PN=_ 若P的坐标是（-0.5，6），则PM=_,PN=_ 若P的坐标是（x，y），则PM=_,PN=_ .,平面直角坐标系内任意一点P(x,y) P到x轴的距离是这点纵坐标的绝对值即是 P到y轴的距离是这点横坐的绝对值即是,复习反馈，导入新课,3,1,6,0.5,2、若E(1，6)也在该图像上，则绿色矩形面积为（ ）,F（4，-1.5）,3、若F(4，-1.5)

3、 在 图像上，则 黄色矩形面积为（ ）,1.如图，点P(3，2)在反比例 函数 图像上 则K=( ),过P作PAx轴， PBy轴,则OA=( ), PA=( ),S矩形OAPB=（ ）,6,3,2,6,6,6,自主学习,例1、如图,点P是反比例函数 图象上的一点,PAx轴于A, PBy轴于B.求长方形PAOB的面积。 .,解：S矩形PAOB =OAPA = = =,自主学习 规范讲解,2,归纳小结,2、如图，连接OM，则,这就是反比例函数中K的几何意义,1.如图,点P是反比例函数 图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,则长方形ONPM的面积是多少？,已 知 K 值 求 面 积,注意：无论

4、矩形图像在哪个象限，矩形面积都为正。,学以致用 小试身手,2、若四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数 的 的图象过点B，则k的值为（ ）,B,已知面积求K值,注意： 当图像在第一、三象限时，K0; 当图像在第二、四象限时，K0、。,4.观察图中各个三角形的面积，你有什么发现？,3.如图，S矩形OAPB= _,SOAP= .,学以致用 小试身手,反比例函数 上一点P（x0，y0），过点P分别作PAy轴，PBX轴，垂足分别为A、B，则矩形AOBP的面积为 ； 且SAOP= SBOP = 。,归纳小结,1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？ 2.你对自己本节课的表现满意吗？为什

5、么？,共同回顾，感悟收获,数缺形时少直觉，,形少数时难入微,A.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3,S1,S3,S2,作业布置,必做题：,作业布置,已知,点P是反比例函数 图象上一 点,作PA x轴 于A,若 SAOP是3，则这 个反比例函数的解析式为（ ）,选做题：,谢谢大家，再见,你们表现得真棒！,与 的,面积,反比例函数,几何图形,九年级数学组,过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A,B，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。,过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：,2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向

6、x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是 .,的面积不变性,注意：（1）面积与P的位置无关,（2）当k符号不确定的情况 下须分类讨论,3、在双曲线 上 任一点分别作x轴、y轴的垂线段， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函 数解析式_。,(X0),y,x,O,或,如图，A,B是双曲线 上的点，分别经过A,B两点向X轴、y轴作垂线段，若 .,4,O,y,x,s1,s2,如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点 P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1 _ S2.,P,Q,=,（x0),思考：1.你能求出S2和S3的值吗？

7、,2.S1呢？,1,x,o,B,E,A,若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线ACx轴，交y轴于点C；过点B作直线BDy轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由。,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,（1）若A(2,3)，求K的值,B,A,x,o,（3）若A,B两点的横坐标分别为a,2a，线段AB的延长线交X轴于点C，若 ，求K的值,C,A,y,O,B,x,M,N,y=kx+1

8、的图像交于A、B两点,点A的纵坐标是3.,已知：如图,反比例函数 与一次函数,（1）求这个一次函数的解析式 （2）求AOB的面积.,变式练习,如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x的图象上，点P(m,n) 是图象上任意一点，过点 P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E, F，,拓展提高,G,若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，写出S关于m的函数关 系式,总结提高,一个性质：反比例函数的面积不变性,两种思想：分类讨论和数形结合,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（

9、2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,E,B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,(5,0),B,A,x,o,如图，已知，A,B是双曲线 上的两点，,（1）若A(2,3)，求K的值,（2）在(1)的条件下，若点B的横坐标为3，连接OA,OB,AB，求OAB的面积。,E,2、正比例函数y=x与反比例函数y= 的图象相交于 A、C两点.ABx轴于B,CDy轴于D(如图),则四边形ABCD的面积为( ) （A）1 （B） （C

10、）2 （D）,例3. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，则 面积S为多少？ 解：因为点A与点C关于原点中心对称， 设A（x,y），则C(-x,-y),过C点做 CD垂直与X轴,垂足为D点 所以,D,练习：,（2010湖北孝感） 如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且ABx轴，C、 D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的 面积为 . 2.如图，过反比例函数 的图象上任意 两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 连结OA、OB。设AC与OB的交点为E， 与 梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的 大小，可得（

11、） A. B. C. D. 大小关系不能确定,3.如图，A、B是函数 的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴， 的面积为S，则（ ） A. S1 B. C. S2 D. 4. 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点，过A点作x轴 的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴 于D，则四边形ABCD的面积为_。,综合,例4.如图，反比例函数 (x0)与矩形OABC的边AB、BC交于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为2 1.求证：AF=BF 2.求三角形OAF的面积 3.求k的值,例：如图，反比例函数 (x0)与矩形OABC的边AB、BC交

12、于F、E两点，且BE=CE，四边形OEBF的面积为2 1.求证：AF=BF; 2.求三角形OAF的面积; 3.求k的值,解：1.连接OB，在矩形OABC中， BE=CE, 又 = = S矩形OABC = S矩形OABC 点F也在反比例函数图象上， AF=BF 2. 四边形OEBF的面积为2， ,SOCE,=SOBE,SOCB,SOCE,SOAB,SAOF,=SOCE=,S矩形OABC,SAOF,=SBOF,SAOF,=SBOF=,SEOB,S矩形OABC,SAOF=1,3. k=2,SAOF=1=1/2k,过E,F点分别做X轴、Y轴的垂线，垂足分别为G、H，,G,H,O,因为点E、F在反比例函

13、数图像上，所以矩形OCEG的面积等于矩形OHFA的面积，所以 OCCE=OAAF, CE=BE, 1/2BCOC= OAAF, 又在矩形OABC中，OA=BC,OC=AB AF=1/2OC AF=1/2AB, AF=BF,证法二：证明：设点E的坐标为（a,b），BCx轴，且BE=CE，B（2a，b）ABy轴，F点横坐标为2a，设纵坐标为y，点E和点F都在反比例函数图像上ab=k，2ay=ky= b，F是线段AB的中点，即AF=BF,练习：,1.（2011湖北）如图，双曲线 经过四边形OABC的顶点A、C，ABC90，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB轴，将ABC沿AC翻折后得到ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积