垂直平分线的证明

1、线段的垂直平分线,哈五中,问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,A,B,A,B,A,B,C,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,(线段垂直平分线的性质定理),线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.,定理,直线MNAB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.,已知：,PA=PB,求证：,证明:,MNAB（已知）,PCA=P

2、CB(垂直的定义),在PCA和PCB中, PCA PCB(SAS),PA=PB(全等三角形的对应边相等),当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?,PCA与PCB将不存在.,PA与PB还相等吗?,相等!,此时,PA=CA,PB=CB 已知AC=CB PA=PB,已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?,P,A,B,这样的点P /不存在,A,B,P,已知:,线段AB,且PA=PB,求证:,点P在线段AB的垂直 平分线MN上.,过点P作PCAB垂足为C., PA=PB(已知) PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义),AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上

3、的中线),PC是线段AB的垂直平分线. 即点P在线段AB的垂直 平分线MN上.,证明:,和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,逆定理,小结:,1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.,2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.,和线段两个端点距离相等的所有点的集合.,线段的垂直平分线可以看作是,例 已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC., PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等),证明: 点A在线段AB的垂直平分线上(已知),同理 PB=PC, PA=PB=PC.,问题

4、:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.,A,B,C,点P为校址,作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB,l,B,A,P,点P为所求作的点,填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 三角形.,1题图,等腰,填空： 1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高, E为AD上一点,则BE EC.(填、或=号),1题图,2题图,等腰,=,3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂直平分线MN交

5、AC于D,则 1= , 2= .,30o,1,2,75o,30o,60o,45o,填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 cm,A,B,D,C,E,3cm,19,13cm,5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?,AD =BD,CF = BF,AC = BC,CE = BE,1,2,3,CF =DF,即:BF=CF=DF,证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD 平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上.,证明:,30o, C=90o, A=3

6、0o(已知) ABC=60o(三角形内角和定理), A= ABD (等量代换), D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.), AD=BD(等角对等边),证明题: 2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 求证:ADBC.,证明:,线段CD垂直平分AB(已知), CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理), 1= 3(等边对等角),又 AB平分CAD(已知) 1= 2(角平分线的定义), 2= 3(等量代换), AD BC(内错角相等,两直线平行),证明题:3.已知:如图,在ABC中, AB=AC,A=120o, AB的垂直平分线交AB

7、于E,交BC于F. 求证:CF=2BF.,300,CF=2AF,AF=BF,CF=2BF,线段垂直平分线上的点和这条线段 两个端点的距离相等.,和一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.,线段的垂直平分线可以看作是和线 段两个端点距离相等的所有点的集合.,小结：,作业: P95 2. 3. 4,证明题:4.已知:如图,AD平分BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF. 求证: CAF= B., 1+ 2= 4(等边对等角),又 4= B+ 3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和), 1+ 2= B+ 3, AD平分BAC(已知) 2= 3(角平分线的定义), 1=