角平分线及其画法.ppt

1、15.4角的平分线,岳西县莲云中心学校 储岳普,问题1： 如图， S区离公路与铁路交叉处500米，要在S区建一个贸易市场，使它位于铁路和公路交叉中间， 这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,问题情境,应建在角平分线上,问题2：怎样作出一个角的平分线？,方法一：对折法轴对称图形,方法二：度量法量角器,方法三：尺规作图直尺、圆规,探究1：,A,O,仔细观察步骤,基本作图：平分已知角,已知： (如图) 求作： 的角平分线OC.,已知： (如图) 求作： 的角平分线OC.,基本作图：平分已知角,M,N,C,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成

2、的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,问题3：折一折,探究2：,按照做一做的顺序画AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PD、PE ，并度量所画PD、PE是否等长？,同学甲、乙谁的画法是正确的?,猜想： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:(如图)C平分, P是OC上一点, PDOA,PEOB 求证:PD=PE 证明: C平分, P是OC上一点（已知） DP=BP（角平分线定义） PDOA,PEOB （已知） ODP=OEP=90（垂直的定义） 在OPD和OPE

3、 中 DOP=BOP （已证） ODP=OEP （已证） OP=OP（公共边） ADCABC (S) （全等三角形对应边相等）,角平分线的性质定理：,定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP 是 的平分线,PD = PE,（在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,练习：, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分

4、线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,B,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.,，,3、已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.,4、已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。,应用与提高,证明： AD平分CAB DEAB，C90（已知） CDDE (角平分线的性质) 在tCDF和RtEDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） RtCDFRtEDB (HL) CF=EB （全等三角形对应边相等）,问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,解决问题,解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。,D,C,s,小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。 1、如何作已知角的平分线 2、角平分线上的点到这个角