第四章 态和力学量的表象1.2.ppt

1、第四章 态和力学量表象,1 态的表象,到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。,波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。,表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。,在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变

2、量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。,动量本征函数：,组成完备系，任一状态可按其展开,展开系数,（一）动量表象,假设 (x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一化。,C(p,t) 物理意义,(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 (x,t)是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。,若(x,t)描写的态是具有确定动量 的自由粒子状态，即平面波：,则相应动量表象中的波函数：,所以，在动量表象中，具有确定动量 的粒子的波函数是以动量 p为变量的函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一 个函数。,展开式,同理，坐标本征函数

3、在自身表象下其实就是函数 这可以有如下的本征值方程来证明：,（二）力学量表象,推广上述讨论：,x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，,因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。,根据量子力学基本假定，当粒子处于状态 时，坐标位置确定，为,其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所提及。,我们将分两种情况回答这个问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况,设算符Q的本征值为：Q1，Q2, ., Q，.，相应本征函数为：u1(x),u2(x),.,un(x),.。,将(x,t)按Q的本征函数展开：,若, un都是归一化的，则 an(t

4、) 也是归一化的。,（1）分立谱情况,证：,a1(t), a2(t), ., an(t), .就是(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。,由此可知，|an|2表示在(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征值Qn的几率。,转置共轭矩阵,归一化可写为,写成矩阵形式,注意：这里的 是列矩阵，不是函数,同样若 , 都是归一化的，则 也是归一化的。关于这个结论的证明见上一章的讲义。,（2）只含有连续本征值情况,假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征函数为,则任意波函数按Q的本征函数展开为,根据上一章量子力学基本假定，|aq(t)|2dq 是在(x,t)描述的态中测量力学量Q所得结果在qq

5、+dq之间的概率。,即,展开系数,我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即,此时转置共轭矩阵为,此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式,注意：这里 被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式,这是个元素不能分开的行矩阵,在Q表象中，由 描述的状态被表示为,例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常使用的坐标表象下的波函数 也属于这类表示,设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：,Q1, Q2, ., Qn, ., q,u1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x),即本征值谱中既包含了分立部分

6、，又包含有连续部分,对应本征函数可记为,这时展开系数为：,例如氢原子能量就是这样一种力学量，既有分立也有连续本征值。,（3）既包含连续谱，又包含分立谱情况,同样若 , 都是归一化的，则展开系数 也是归一化的。,|an(t)|2 是在(x,t) 态中测量力学量Q所得 结果为Qn 的几率；,|aq(t)|2dq 是在(x,t) 态中 测量力学量Q所得结果在qq+dq 之间的几率。,我们仍可以用一个列矩阵表示：,归一化仍可表为：,注意在连续谱部分使用了积分,在Q表象下，由 描述的状态被表示为,这些列矩阵一般来说都是无限行的。本章我们统一使用列矩阵形式的波函数。,（三）讨论,同一状态可以在不同表象用波

7、函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。,由该表还可以看到在两种表象中动量本征方程的形式完全类似，在本章第二三节我们将看到前面章节中所提及的所有方程 公式（包括薛定谔方程和各种力学量算符的本征方程）的形式在不同表象中都是类似的。区别在于方程里面的波函数要写成各自表象下的波函数，算符要写成各自表象下的算符。关于这一点将在下面两节阐明。,这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量A在直角坐标系由 三分量描述；在球坐标系用 三个分量描述。 和 形式不同，但描写同一矢量A。,列矩阵记法,类 比,状态被算符Q正交归一函数系 展开,Q表象下的列矩阵表示形式,所以我们可以把状态类比

8、成一个矢量态矢量。选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系。,算符Q 的正交归一本征函数系 u1(x),u2(x),.,un(x),.uq(x)是Q表象下的基本矢量简称基矢。,a1(t), a2(t), ., an(t),. aq(t)是 Q 表象 的态矢量沿各基矢方向的分量。,Q表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为Hilbert空间。,状态在Q表象下的形式叫做Q表象下的波函数,前面所提的Q只是指一个力学量，事实上它也可以是一组力学量。,如果力学量F，G拥有共同的完备的本征函数un(x),n=1,2,3，则任意波函数 可以被其展开为,我们同样

9、可以把系数写为列矩阵形式,被称为状态 在F，G的共同表象下的表示,例： 本征函数 um(x) 在A表象中的矩阵表示。,同样将 um(x) 按 的本征函数展开：,显然：,所以 um(x) 在A表象中的矩阵表示如下：,证明:,假设 (x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一。,作 业, 算符的矩阵表示,在上一节，我们统一使用列矩阵来表示同一个状态在不同表象下的形式。归一化公式被统一的写成矩阵相乘的形式。下面我们将使用矩阵表示同一个算符在不同表象下的形式。,以下是一个坐标表象形式下的方程：,假设Q只有分立本征值，将, 按Q的正交归一本征函数系un(x)展开：,（一）力学量算符的矩阵表示,

10、两边左乘,下面我们来看这个方程在Q表象下的形式,把展开式代入上面的方程,设,可得,两边对空间坐标取积分,参照矩阵乘法的定义式，这个关系式可以写成如下的矩阵形式,对照原来的方程,上面的矩阵形式是从下面的方程推导出来的，因此只要下面的方程成立，则这个矩阵等式必然成立。当然上面的矩阵等式成立的话，下面的方程也成立。因此上下两个关系是等价的。而且很容易看出这两个等式具有非常明显的对应性。,因此上面的矩阵等式可以看成是下面方程在Q表象下的形式,以上式子可以简写成,=F,矩阵,称为是算符 在Q表象下的表示,注意矩阵元素的计算公式,状态在Q表象下的列矩阵表示,状态在Q表象下的列矩阵表示,算符 在Q表象下的方

11、阵表示,（二）Q表象中力学量算符 F 的性质,F矩阵m行n列元素的共轭,F转置矩阵n行m列元素的共轭,这里的矩阵 叫做矩阵F的共轭矩阵。它被定义为矩阵F转置之后再取共轭,下面我们要探讨力学量算符 在Q表象下的矩阵F有什么性质,算符 是厄米算符,由此可知，矩阵F与它的共轭矩阵相等，这样的矩阵叫做厄米矩阵。因此，力学量算符 在Q表象下的矩阵是厄米矩阵。,力学量算符在自身表象中的形式,结论： 算符在自身表象中是一对角矩阵，对角元素就是算符的本征值。,由矩阵元公式，我们可按如下方式得到算符 在Q表象下的矩阵形式。注意：这时候,下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。,例：我们已经知道 Lx,Ly在 L2

12、, Lz共同表象中具有如下的矩阵形式（我们只考虑 l =1的情况，即L2具有确定值 此时L2, Lz 共同本征函数只有Y10，Y1-1，Y11，所有状态都可由这三个状态展开）,由此我们证明了两个矩阵确实是厄密矩阵,如果 Q只有连续本征值q ，上面的讨论仍然适用，只需将u, a, b的角标从可数的 n, m 换成连续变化的 q，求和换成积分,算符F在Q表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：,只是该矩阵的行列是不可数的，而是用连续下标表示,（三） Q 有连续本征值的情况,例:求坐标表象中算符F的矩阵元,筛选性原理,例： 求动量表象中F的矩阵元,如果Q的本征值既包含分立谱又包含连续谱，则Q表象中任何表

13、示算符的矩阵既包含可数的行列，又包含连续不可数的行列,3 量子力学公式的矩阵表述,为简化起见，本节我们只举Q的本征值只构成分立谱的例子，其他一般情况结果类似。,坐标表象下的平均值公式,现在我们想知道在Q表象中的平均值公式,我们知道任意波函数可被Q的本征函数 展开为如下形式：,代入平均值公式,（一）平均值公式,式右写成矩阵相乘形式,坐标表象下的本征值方程,在上一节我们已经知道，在Q表象中这类方程可直接写成矩阵的形式,（二）本征方程,把等号式子移到左边,以上等式其实是一个齐次线性方程组，未知数是a1,a2,a3,an,以上方程可以简写为,在坐标表象下求解本征值方程的问题转换为在某个Q表象下求解线性

14、方程组的问题。只要未知数a1,a2,a3,an,确定了，状态也就确定了。,下面我们讨论一下这方程组的求解。,在线性代数中，我们已经知道如上方程组有非平庸解的条件是方程组系数构成的行列式等于零,首先，这个方程组，肯定存在一组解。即未知数全部为零。这组解在线性代数中被称之为平庸解。在物理上，意味着波函数为常数零，这是没有意义的。因此我们把注意力主要放在求非平庸解,补充:行列式：,设有一方阵B,行列式是一个多元函数，其自变量是方阵阵列中的所有元素。现在给出几个最简单行列式的求法,如下记法称为方阵B的行列式,交叉乘再相减,总之，行列式是方阵元素的乘积和式,由于行列式是方阵各项的乘积和式，因此如上的行列

15、式其实是一个关于本征值 的幂级数，即以上等式具有如下的形式,这是一个关于 （本征值）的高次线性方程，我们称为久期方程。,由于Fmn都是确定的，因此以上行列式的取值由本征值的 决定。要使行列式等于零，则必然要对 的取值有所限定。因此为了使原来的线性方程组具有非平庸解，我们首先要找到满足如上等式的本征值 。,只要求出久期方程的根，我们就找到了符合如上行列式等式的本征值,求解此久期方程得到一组值：1,2,.,n, .就是F的本征值。,在这里我们看到了从另一个角度求解本征值的方法。再次强调一下，这里求得的本征值与前面使用本征值方程求得的本征值是完全相同的。我们只不过是另一表象下求解相同的问题。,将求得的求其方程的根 分别代入原齐次线性方程组,求解以上的方程组，我们就可以得到一组解。即算符 在Q表象下的本征矢量,本征值,此时m只能取-1，0，1。根据前面的例子，我们已经知道L2, Lz的共同本征函数只有 Y11, Y10, Y1-1.在 L2, Lz 的共同表象中的矩阵形式就特别简单。即可以记为：,例：求 Lx本征态在 L2, Lz共同表象中的矩阵表示，只讨论(=1