数学物理方程第四章_二阶线性偏微分方程的分类与总结.ppt

1、总结了一阶线性偏微分方程的分类、第四章二阶线性偏微分方程的分类，比较了3种方程，上一章分别讨论了弦振动方程、热传导方程式、拉普拉斯方程。 这三类方程的形状特殊，是二阶线性偏微分方程的三个典型代表。 一般形式的二次线性偏微分方程之间的共性和差异往往从这三种方程的研究中得到。 在本章中，基于这三种方程的知识，研究了一般形式的二次线性偏微分方程，对这三种方程的性质进行了比较深入的分类和总结。 遵循1.12个自变量的方程式、一次线性偏微分方程的分类、1.2个自变量的二次线性偏微分方程的简化、1.3方程式的分类、一次线性偏微分方程的分类、从简单到复杂的认知规则，我们首先研究2个自变量的二次线性偏微分方程

2、的分类问题。 之前遇到的一维热传导方程式、弦振动方程、二维拉普拉斯方程都是两个自变量的二次线性偏微分方程。 但是，这些个的形式是特殊的，如果用(x，y )记述自变量，则一般的二次线性方程总是可以写成如下形式，1-1个自变量的方程式在前弦振动方程式的朗贝尔解法(前进波法)的学习中发现了变量变换的意义。 变换是研究差分方程的有效手段，通过适当的变换可以把复杂的方程式变成简单的方程式，把难求的方程式变成容易求的方程式。 方程式(4.1 )的二阶导数项称为其主要部分。 现在正在研究用什么样的自变量变换来简化方程式的中心词。 1-1两个引数的方程式、1-2两个引数的二次线性偏微分方程的简化是将(x0，y

3、0 )作为区域内的一点，在该点的附近简化方程式(1)。 因此，我们进行以下自变量的变换。 在高等数学中，如果上述变换为二次连续微小，且雅可比行列式在(x0，y0 )点非零，则为点(x0， 在y0 )附近，变换(4.3 )是可逆的，即，当存在反变换时，即，已知方程(4.1 )可以采用新参数表示采用复合函数的导数的1-2参数的二阶线性偏微分方程的简化使得(4.7 )的第一和第三方程的形式是全等的如果能选择与方程式、的两个函数不相关的解1(x，y )和2(x，y )，就用=1 (x，y )和=2 (x，y )、方程式(4.6)的系数进行置换。 达到了简化方程(4.1 )中心词的目的。 考察这个选择的

4、可能性。 已知1-2个自变量的二次线性偏微分方程的简化、方程式(4.8 )的求解可变换为下一常微分方程的(x，y )平面上的积分曲线问题：设1(x，y)=c为方程式(4.9 )的一族积分曲线，则z=1(x，y )为方程式(4.8 )的解。 方程式(4.9 )的积分曲线有时称为方程式(4.8 )的特征线，方程式(4.9 )有时称为方程式(4.8 )的特征方程式。 显然，方程(4.9 )可分解为两个方程，根据对1-2个参数的二阶线性偏微分方程的简化，根据符号，我们可以选择相应的世代更迭方程(4.6 )，得到不同的简化形式，这三个方程分别被称为二阶线性偏微分方程的标准形式。1-2个参数的二次线性偏微

5、分方程的简化，根据上述讨论，方程(4.1 )通过参数的可逆变换(4.3 )而变化为其标准形式，主要确定为其主要系数。 也就是说，由l、m平面上的二次曲线的性质决定。 由于该曲线可为椭圆、双曲线或抛物线，所以当方程(4.1)的主要系数满足区域内的某个点(x0，y0)，并选择定义为方程在点(x0，y0)处为双曲线型的点时，方程在点(x0，y0)处称为椭圆型方程在点(x0，y0 )称为抛物型，因此，(4.12 )、(4.13 )和(4.14 )这三个方程分别称为双曲型、抛物型、椭圆型(二次线性)偏微分方程的标准形式。1-3方程式的分类，方程式在区域的所有点都是双曲型的情况下，方程式在区域称为双曲型。

6、 同样，对椭圆型和抛物型也有同样的定义。 一个方程式在区域的一部分区域表现为双曲型，另一部分表现为椭圆型，在界面表现为抛物型，这个方程式在区域被称为混合型。 例如，如果点(x0，y0)上的方程式(4.1)表示为双曲型或椭圆型，则可以看出该点的区域必须存在，以便方程式在此区域内为双曲型或椭圆型。 但是，在这一点上，如果方程式(4.1)用抛物型表现的话，不一定存在区域，方程式在这个区域用抛物型表现。 在刚才的分类方法中，容易明白一维度弦振动方程式是双曲型，一维度热传导方程式是抛物线型，二次元拉普拉斯方程是椭圆型。 我们已经知道，以上三个方程描述的自然现象本质不同，其解的性质也不同。 从侧面也说明了

7、分类二次线性偏微分方程有很深的原因。 例如，在空气动力学中，稳态Euler方程式在亚音速的流动中表现为椭圆型方程式，在超声速的流动中表现为双曲型，在超声速的流动中表现为混合型。 在瞬态欧拉方程中，始终表现为双曲型。 1-3方程的分类，例题：将方程分类为标准形式，解：由于该方程，该方程为抛物型。 很明显，该方程的特征方程是：由此得到方程的一族特征线被替换为：自变量：(因为与必需函数没有关系，所以应该取最简单的函数形式，即=x或=y )，所以原方程化的简化后的标准形式是：1-3方程的分类，练习题：例二、三号练习题，P 102103。1.1线性方程叠加原理、3种方程的比较、1.2解性质的比较、1.3

8、定解问题的萃取法的比较，目前，我们基于上一章3种典型方程的研究，对双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程3种不同方程的解性质、定解问题的萃取法等进行了分析总结。 可以看出这三种方程式系数的代数性质的差异实际上反映了很多本质的差异。 三种方程的比较，三种方程的比较，3-1线性方程叠加原理的共性，线性方程的共性就是满足叠加原理。 在前面的学习中，我们多次利用叠加原理把复杂的问题变成几个简单的问题来解决。 分离变量法和齐次化原理实际上是叠加原理的具体应用。 (以热传导方程式为例)、叠加原理I、叠加原理II、叠加原理III、叠加原理IV，三种典型方程式的数学性质的差异，在很多情况下，相应的物理现象的本质的

9、差异用数学来表现。 以下，以3种典型方程式(波动方程、热传导方程式、拉普拉斯方程)为例，叙述其差异。 对于一般的变量方程，情况更复杂，但类似的结论仍然成立。 3种方程式的比较，3-2解的性质的比较的差异，1 )解的平滑性，根据类型的方程式，解的平滑性有很大的不同。 在弦振动方程中，在初始条件下不存在高阶导函数且也不存在解的高阶导函数的热传导方程式中，如果初始条件是有界的，则在该解是无限的拉普拉斯方程中，该解的光滑度更好，并且该解在定义域内都是解析函数。 教科书物理性地说明了这些个的解的流畅度的差异。 以下格拉夫从图像上反映了不同类型方程解的光滑性。 2 )解的极端值性质热传导方程式和拉普拉斯方

10、程存在极端值原理，但它们的形式存在差异。 拉普拉斯方程解的极端值只存在于边界上。 对于热传导方程式，区域内部的最大值不能超过区域的初始时刻和界面上的最大值。双曲型方程，通常不存在极端值原理。 这是由于在波多重日式榻榻米时声干扰有时会增大。 3 )影响区和依存区从影响区和依存区来看，三种方程式也有很大差异。 由于波动方程扰动以有限速度传播，其影响区和依赖区呈锥体状。 在热传导方程式中，其声干扰传播非常快，某个点的影响区域是该点以上的上半部分平面整体，依赖区域是初始值区间整体。 因为拉普拉斯方程表示稳定态和平衡态，所以没有声干扰传播的问题。 4 )时间反转物理状态的变化可逆地有木有，数学地归结的方

11、程式关于时间变量对称地反映有木有，即，代替t方程式是否不变化。 拉普拉斯方程不存在这个问题，双曲型方程是可逆的，热传导方程式是不可逆的，椭圆型方程：定解问题只有边界条件，没有初始条件。 所以，一般来说，初始值问题和柯西问题都没有提及。 抛物型方程：可提出边值问题和柯西问题，其初始条件只给出一个。 双曲型方程：提出初边值问题和柯西问题，其初始条件必须给出两个。 定解问题的适应性：存在性、唯一性、稳定性的教科书显示了不稳定的定解问题的例子。 对于弦振动方程和热传导方程式，一般不能提出狄利克雷问题(将t0和tt0指定为云同步的未知函数取值)。 因为这样的定解问题一般是解不开的。 3-3定解题的提法比较不同，复习要点：