高三数学数列部分复习专题（一）（理）人教实验版（B）（通用）

1、高三数学数列部分复习专题（一）高三数学数列部分复习专题（一） （理）（理）人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 数列部分复习专题（一） 二. 教学目的： 1、数列部分易混知识点简析 2、本章典型例题分析 三. 知识分析 （一）本章知识网络 数列： 1. 数列概念 2. 等差数列： 3. 等比数列： 4. 数列求和 5. 数列最值问题 6. 数列与函数：数列是一类特殊的函数 7. 数列的应用建模：利用数列解决实际问题 （二）本章易混知识点 易混点一：数列与集合 易混点二：等差数列与等比数列 等差数列等比数列 定义 通项公式 公差公比 前 n 项和 公式

2、 等差等比 中项 性质 易混点三：项与通项 数列的通项是通项公式的简称，它是表示数列中的各项的通式，是函数解析式；而数 列的项是指整个数列中的某一或某几项，是组成数列的各个元素，是函数值。 易混点四：数列与函数 函数是非空数集到非空数集的映射，其定义域可以是实数集 R 或 R 的有限子集；而数 列是特殊的函数，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集。 函数的图象可以是平滑的连续的曲线也可以是间断的点；而数列的图象是一系列不连 续的点。 【典型例题典型例题】 例 1. 已知 a1，a2，a3，ak是有限项等差数列，且， ，若，则 k 的值是 _。 剖析：剖析：本小题主要考查等差数列的通项及性质。

3、 答案：答案：18 解析：解析：a1，a2，a3，ak成等差数列 由 a4+a7+a10=17 可知 由 可知 令等差数列公差为 d，则有 由 即，得 点悟：要注意灵活运用等差中项性质解题。 例 2. 等差数列的前 n 项和记为 Sn。已知。 （1）求通项； （2）若，求 n。 剖析：剖析：要求，只要利用求出基本量 a1，d 即可，求出 a1，d 就能表示出 Sn，再解方程 求出 n。 解析：解析：（1）由 得方程组 解得 （2）由 得方程 解得 n=11，或 n（舍去） 点悟：点悟：在等差数列中，已知五个基本量中，知三求二，数列的基本运算实质是基本量 的运算。要注意方程思想的应用。 例 3.

4、 在等比数列中， ，求 an。 剖析：剖析：利用等比数列通项公式，列出关于 a1，q 的方程组求出 a1，q，另外可用求出 q。从而。 解析：解法一：解析：解法一：由已知，有 由 得 即 解法二：解法二：由已知 则 点悟：点悟：解法二中要注意符号，求出通项后要验证，否则出现错误。 例 4. （1）在等差数列中，若，则的值是_。 剖析：剖析：利用等差数列性质，m，n，p， ，且，则。 答案：答案：60 解析：解析： 即 （2）若为等差数列， ，则_。 剖析：剖析：若an为等差数列，则组成公差为 md 的等差数列。另外也可用变形公式来解。 答案：答案：30 解析：解法一：解析：解法一：an为等差数

5、列 仍成等差数列，且公差为 d 解法二：解法二：设 an的公差为 d，则 （3）设数列an、bn都是等差数列，且，那么由所组成的数列的第 37 项的值为 _。 剖析：剖析：若an、bn都是等差数列，则仍为等差数列。 答案：答案：450 解析：解析：数列an，bn都是等差数列 数列也成等差数列，设公差为 d 而 点悟：点悟：利用等差数列性质解题，能达到事半功倍的效果。 例 5. （1）已知是等比数列，且，那么 a3+a5的值等于_。 （2）等比数列中，若，则此数列前 17 项之积为_。 （3）在等比数列中，若，则 a10=_。 （4）在等比数列中，若，则的值是_。 剖析：剖析：利用等比数列性质，

6、若，则 若为等比数列，则，仍成等比数列 解析：解析：（1）由等比数列性质 把 （2）由题意得： （3）等比数列，a2，a6，a10仍成等比数列 （4）为等比数列 仍成等比数列 此数列公式 点悟：点悟：巧用等比数列性质，减少运算量。 例 6. 等差数列中， ，问数列前多少项之和最大，并求此最大值。 剖析：剖析：本题考查等差数列的前 n 项和公式及函数与不等式的方法解决数列 Sn最值问题。 解析：解法一：解析：解法一： 则 从而 故前 13 项之和最大，最大值是 169 解法二：解法二：如图所示， 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为。 解法三：解法三：由，知此数列必递减，且

7、又由等差数列性质有 数列递减， 故此数列前 13 项和最大 解法四：解法四：同解法一求得 由且得： 故此数列前 13 项和 S13最大 点悟：点悟：（1）数列是特殊的函数，上述解法中解法一、解法二两种思路均是转化为函数 中求最值的方法，即利用单调性、配凑法转化为二次函数以及数形结合等； （2）对于等差数列当且为递减数列时，前 n 项和 Sn有最大值；当且为递增数列时， 前 n 项和 Sn有最小值。 例 7. 设等比数列的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若成等差数列，则 q 的值为 _。 剖析：剖析：本小题考查等差与等比数列的综合应用。 答案：答案： 解析：解析：当 q=1 时， 即 当， 即

8、 或 1（舍） 点悟：点悟：熟练掌握数列的基本概念、公式是本题的关键。 例 8. 在圆内，过点有条弦，它们的长构成等差数列，若为过该点最短弦的长，为过该点 最长弦的长，公差，那么 n 的值是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5 剖析：剖析：本题考查圆的弦以及数列的有关性质，是数列与解析几何的综合问题。 答案：答案：D 解析：解析：过点最长的弦为直径 5 最短的弦为 则，公差为 d 有： 则，故 n=5，故选 D 点悟：点悟：在做综合题时，一定要注意各章节知识的联系。 例 9. 已知 、成公比为 2 的等比数列，且也成等比数列，求 、的值。 剖析：剖析：本小题考查数列与三角函数知识的综合应用

9、。 解析：解析：、成公比为 2 的等比数列 所以 点悟：点悟：将 与用 表示，简化了解题过程。 例 10. 设两个方程的四个根组成以 2 为公比的等比数列，求 ab 的值。 剖析：剖析：根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的常数项同时为 1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数关系，从而求出 ab 的值。 解析：解析：设以 2 为公比，成等比数列的四个根依次为 t，2t，4t， 两方程的常数项同为 1 只有时才有解，此时 t、8t 是其中一个方程的两根，2t、4t 是另一方程的两根，不妨设 t、8t 是的两根， 2t、4t 是的两根。 则 即 点悟：点悟

10、：方程思想是解决数列问题的重要的数学思想。 例 11. 随着人们日常生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华 型的标准在飞速发展，为些各种花园住宅小区在全国各地涌现。现有某市一住宅小区出售 面积为 150 平方米，售价为每平方米 4000 元的住房。若一次性将房款全部付清，可降低 10%，若无力一次性付款，可先付房款的 30%，即可入住，剩余房款在 15 年内分三次等额 付清，年利率为 1.2%，求每次付款多少元？总共付款多少元？比售价高出多少元？比一次 付款多付多少？ 剖析：剖析：本小题考查数列的实际应用问题。 解析：解析：面积为 150 平方米，每平方米 4000 元的住

11、房，其售价为（元）=60（万元） 。 若一次性将房款全部付清，由于降低 10% 只需付款（万元） 若无力一次性付清，可先付房款的 30% 即（万元） 剩余的房款 42 万元，在 15 年内分三次等额付清，由于年利率为 1.2% 剩余房款 42 万元在 15 年后房款全部付清时，其剩余房款增值为 42（1+0.012）15万 元。 由于 15 年内将剩余房款 42 万元分三次等额付清，设每次付款 x 万元，则第三次付清 x 万元时，房款全部付清，这次付款没有利息。 第二次付款 x 万元，过 5 年即取房款全部付清时，所生利息连同本金和为万元。 由分期付款的规定则有。 （万元） 即每次付款 15.

12、7550 万元，共付款 47.2650 万元，比住房售价多出 5.2650 万元，比一 次性付款多付 11.2650 万元。 点悟：点悟：本题对分期付款、一次性付款和房价进行了精确的比较，为分期付款提供了理 论依据。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：60 分钟） 一. 选择题： 1. 在等差数列中， ，则（ ） A. 5 或 7B. 3 或 5C. 7 或D. 3 或 2. 在等差数列中， ，那么前 16 项的和等于（ ） A. 128B. 254C. 256D. 324 3. 数列中，则该数列的前 n 项和等于（ ） A.B.C.D. 4. 等差数列的前 m 项和为 30，前 2m 项和为

13、 100，则它的前 3m 项之和为（ ） A. 130B. 170C. 210D. 260 5.是 a、b、c 成等比数列的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 在等比数列中，则（ ） A. 240B. 480C. 720D. 960 7. 在等比数列中，若是方程的两根，则（ ） A. 3B.C.D. 8. 三个正数成等差数列，其和为 15，若它们分别加上 1，3，9 就成等比数列，则这三个 数为（ ） A. 3，5，7B. 15，5， C. 3，5，7 或 15，5，D. 以上都不对 二. 填空题： 9. 在 50 到 350 之间

14、所有末位数是 1 的整数之和为_。 10. 已知等差数列中， ，若最小，则 n=_。 11. 在各项均为正数的等比数列中，若，则_。 12. 在 1 和 1024 之间插入九个数，使这 11 个数顺次成等比数列，所插入的九个数之和 是_。 三. 解答题： 13. 项数为的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，求中间项及项数。 14. 已知等差数列中，公差，且，求其前 20 项和。 15. 在等比数列中，若，求的通项公式。 16. 某车间的劳动生产率平均每月比上个月提高 2.4%，那么大约需经过多少月，劳动生 产率可以翻一番？（已知，结果精确到个位） 。 试题答案试题答案 1. D

15、提示：提示：由得，解得或 7 当时， 当时， 2. C 提示：提示：，而。 3. D 提示：提示：由，可知数列是等差数列，且，又。 4. C 提示：提示：利用成等差数列求解较为简便。 5. B 提示：提示：当时，有可能 a、b、c 为零，且 a、b、c 成等比数列的一个必要条件是 a、b、c 均不为 0。 6. B 提示：提示：，故，亦成等比数列，由知， 。 7. C 提示：提示：，而 8. A 提示：提示：设此三数为 9. 5880 提示：提示：在 50 到 350 之间所有末位数是 1 的整数共有 30 个，且。 10. 35 提示：提示：由知，得 又，易知是最大负项，故 11. 10 提示：提示：等比数列中， ，且 12.