复数、积分的相关概念及运算.pptx

1、复数、积分的相关概念及运算,2016年3月24日,1,1,目录,2,2,目录,3,3,一、复数的概念,4,4,一、常微分方程的概念阶数,5,5,微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。,一阶,二阶,一阶,一、常微分方程的概念方程的解,6,6, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解.,一、常微分方程的概念初值问题,7,7,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,常微分方程,初始条件,问题,一阶:,过定点的积分曲线;,

2、二阶:,一、常微分方程的概念,8,8,解,微分方程,初始条件,通解,特解,目录,9,9,二、一阶常微分方程可分离变量的方程,10,10,形如的 微分方程，称为可分离变量方程。,二、一阶常微分方程可分离变量的方程,11,11,二、一阶常微分方程齐次方程,12,12,，,形如 的方程，称为齐次方程。,二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程,13,13,二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程,14,14,二、一阶常微分方程一阶线性齐次方程,15,15,二、一阶常微分方程伯努利方程,16,16,目录,17,17,三、二阶常微分方程可降阶的二阶常微分方程,18,18,三、二阶线性微分方程,19,19,三、二阶常

3、微分方程的定理,20,20,三、二阶常微分方程的定理,21,21,三、二阶常系数线性微分方程,22,22,三、二阶常系数线性微分方程,23,23,三、二阶常系数线性微分方程,24,24,三、二阶常系数线性微分方程,25,25,三、二阶常系数线性微分方程,26,26,三、二阶常系数线性微分方程,27,27,三、二阶常系数线性微分方程,28,28,三、二阶常系数线性微分方程,29,29,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,30,30,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,31,31,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,32,32,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,33,33,三、二阶常系数非齐次线性微分方

4、程,34,34,三、二阶常系数非齐次线性微分方程,35,35,目录,36,36,四、欧拉方程的证明,37,37,四、欧拉方程的证明,38,38,ex=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! +,在ex的展开式中把x换成ix,因为(i)2=-1, (i)3=i, (i)4=1 e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4! =(1 - x2/2! +)+i(x - x3/3!),cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7!,eix=cosx+isinx,目录,

5、39,39,五、常用的三角函数,40,40,sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB,sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB,cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB,cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB,tan(A+B) =,tan(A-B) =,三角和公式,sin a+sin b=2sin,cos,sin a -sin b=2cos,sin,cos a+cos b=2cos,cos,cos a-cos b=-2sin,sin,和差化积公式,tan a+tan b =,五、常用的三角函数,41,41,asin a+bcos

6、 a =,sin(a+c) (其中tan c= ),asin a-bcos a =,cos(a-c) (其中tan c= ),1+sin a = sin 2 + cos 2 2,目录,42,42,单自由度无阻尼系统,43,43,取静平衡位置为坐标原点，向上为正。,此时弹簧的变形为 z ls ，而作用于质量上的力有重力mg，方向朝下。,在撤消外力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程,弹簧的弹性力是k(z ls)，弹性力的特点是：始终使质量恢复到平衡状态，故此时其方向也是向下：,即,k,未受外力作用，处于自由状态的弹簧,ls,受重力mg作用，弹簧被压缩,z,T,单自由度无阻尼系统,44,4

7、4,由于kls= mg，故式(12-1)可简化为：,由上式可知，质量m所受的合外力是：-kz，其方向则始终与弹簧的变形方向相反，指向坐标原点。因为这个力总是起着使物体恢复到平衡位置的作用，故称弹性恢复力。,现在用m除式(12-2)，并引入符号，令k / m=2，则上式可改写为,z= c1 cos t + c2 sin t,五、常用的三角函数,45,45,单自由度有阻尼系统,46,46,它受到的合力是重力、弹性力和阻尼力 之和，即,当物体运动到位置z处时，,阻尼衰减振动,z,图12-7表示有粘性阻尼的自由振动系统，, k(z ls),根据牛顿运动定律，可得物体运动微分方程,令c / m =2a

8、，k / m=2，然后用m遍除方程各项，则有,= kls,单自由度有阻尼系统,47,47,二阶齐次线性微分方程,特征根,1. 欠阻尼状态 即,令c1=Bsin， c2=Bcos，应用三角变换可得,单自由度有阻尼系统,48,48,2. 过阻尼状态 即,单自由度有阻尼系统,49,49,3 临界阻尼状态，即,此时特征方程,特征根为：r1 = r2 = -a，,z e t (c1 c2 t),单自由度有阻尼强迫振动,50,50,12.3.2 有阻尼系统的强迫振动,图中Uz(t) =Usin pt 表示作用在质量体上的简谐激振力。其中 U表示激振力幅值，p是激振频率。由于重力已被kls平衡，故不再示出。该系统除了多一个激振力作用于物体之外，其它与自由振动完全相同。故只要在有阻尼自由振动方程式的(12.11)右边加上激振力一项，即可得到系统作强迫振动的运动方程,z, kz,(12-20),仍令：c / m =2，k / m = 2，且令：U / m = u，则上式可化为如下形式：,单自由度有阻尼强迫振动,51,51,根据前面二阶常系数线性非齐次方程的解的形式：,设其特解为：,代入方程