推理证明一堂课.ppt

1、,推理与证明 城阳二中 邵杰,推理与证明,推理,证明,合情推理,演绎推理,直接证明,数学归纳法,间接证明,类比推理,归纳推理,分析法,综合法,反证法,知识结构,一、合情推理 1.由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 、 .,由部分到整体,由特殊到一般的推理,2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是 . 3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，

2、然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.,由特殊到特殊的推理,归纳推理,类比推理,一 归纳推理,在数列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想这个数列的通项公式.,对应演练,设f(n)=n2+n+41,nN*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.,f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=

3、113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数,你了解费马猜想和哥德巴赫猜想吗？,当n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141. f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证: ，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.,类比推理,【证明】如图11-3-1所示，由射影定理得 AD2=BDDC,AB

4、2=BDBC,AC2=BCDC. 又BC2=AB2+AC2, 猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,AE平面BCD.则 如图，连结BE交CD于F，连结AF. ABAC，ABAD, AB平面ACD，而AF面ACD, ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正确.,对应演练1,在等差数列an中，若a10=0，则有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，相应地:在等比数列bn中，若b9=1，则有等式 成立.,=,如图1，若射线OM，ON上分别存在点 M1，M2与点N1，N2，则,如图2，若

5、不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由.,对应演练 2,二、演绎推理 1.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理 是 . 2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：,由一般到特殊的推理,（1） 已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情况； （3） 根据一般原理，对特殊情况做出的判断.,大前提,小前提,结论,在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.,演绎推理,【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角

6、形是直角 三角形 大前提 在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提 所以ABD是直角三角形 结论 （2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提 所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,又例:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线l平面 ， ,的结论显然是错误的，这是因为,A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误,【评析】演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质

7、P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.,三、直接证明 1.一般地,利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（由因导果） 2.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求

8、使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 为止,这种证明方法叫做分析法.（执果索因）,定义,公理,定理,判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）,综合法,在锐角三角形ABC中,求证： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,对应演练,证明:锐角三角形ABC中，A+B , A -B. 0 -BA . 又在（0, ）内正弦函数是单调递增函数, sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcosA. 由+得 sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,证,证明: 要证 只需证 只需证 只需证

9、只需证 因为 成立. 所以 成立.,分析法,【证明】要证 只要证 a0,故只要证,已知a0,求证:,【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,对应演练,从而只要证 只要证 即 ,而上述不等式显然成立, 故原不等式成立.,即,四、间接证明 反证法是间接证明的一种基本方法. 一般地，假设 不成立(即在原命题的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.（正难则反）,原命题,矛盾,【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考 有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.,反证法证明,若x,y都是正实数，且x+y2,

10、求证： 或 中至少有一个成立.,注,【证明】假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 这与已知条件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一个成立.,问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且 A、B L1,C、D L2,求证;AC,SD也 是异面直线.,L1,L2,对应演练,五、数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基） ； （2）（归纳递推） . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,假设n=

11、k(kn0,kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立,证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立,注,已知数列an，其中a2=6且 . (1)求a1,a3,a4; (2)求数列an的通项公式;,数学归纳法,【解】（1）由题意得a2=6, 解得a1=1,a3=15,a4=28.,（2）由此猜想an=n(2n-1). 下面用数学归纳法加以证明: 当n=1时，a1=1(2-1)=1结论成立. 假设n=k时，结论正确，即ak=k(2k-1). 则当n=k+1时,有 , 所以(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1) =(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10). 所以ak+1=(k+1)2(k+1)-1. 即当n=k+1时，结论成立. 由可知，an的通项公式an=n(2n-1).,用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n.不等式,对应演练,成立.,证明:当n=2时,左= ,右= ,左右, 不等式成立.假设n=k(k2且kN*)时,不等式成立, 即 ,那么当n=k+1时，,n