高考数学一轮复习第六章数列6.4数列求和课件文北师大版.ppt

1、6.4数列求和,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,1.基本数列求和方法,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn. (3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf

2、(n),求Sn. (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项相互抵消,从而求得其和.,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (2)利用倒序相加法可求得sin21+sin22+sin23+sin288+sin289=44.5.() (3)若Sn

3、=a+2a2+3a3+nan,当a0,且a1时,求Sn的值可用错位相减法求得. () (4)如果数列an是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数). () () (6)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S50=-25. (),答案,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.若数列an的通项公式为an=2n+2n-1,则数列an的前n项和为() A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2D.2n+n-2,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2016山西孝义模拟)已知数列 ,Sn为a

4、n的前n项和,若Sn2,则项数n的最大值为() A.98B.99 C.100D.101,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P61TA4(3)1+2x+3x2+nxn-1= (x0且x1).,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.含有参数的数列求和,常伴随着分类讨论. 2.在错位相减法中,两式相减后,构成等比数列的有(n-1)项,整个式子共有(n+1)项. 3.用裂项相消法求和时,裂项相消后,前面剩余几项,后面就剩余几项. 4.数列求和后,要注意化简,通

5、常要进行通分及合并同类项的运算.,-12-,考点1,考点2,考点3,例1在等比数列an中,已知a1=3,公比q1,等差数列bn满足b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)记cn=(-1)nbn+an,求数列cn的前n项和Sn. 思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?,-13-,考点1,考点2,考点3,解 (1)设等比数列an的公比为q,等差数列bn的公差为d. 由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d, d=2,an=3n,bn=2n+1. (2)由题意,得cn=(-1)nbn+an

6、=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+cn=(-3+5)+(-7+9)+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)+3+32+3n.,解题心得1.若数列an的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列前n项和,如果数列f(n)是等差数列,因为(-1)n是等比数列,可以用错位相减法求和. 2.具有下列特点的数列适合分组求和 (1)若an=bncn,且bn,cn为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求an的前n项和; (2)通项公式为 的数列,其中数列bn,cn是等 比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1

7、,考点2,考点3,对点训练1(2016山东昌乐二中模拟)已知等差数列an满足:a5=11,a2+a6=18. (1)求数列an的通项公式; (2)若bn=an+2n,求数列bn的前n项和Sn.,解 (1)设an的首项为a1,公差为d. 解得a1=3,d=2,所以an=2n+1. (2)由an=2n+1得bn=2n+1+2n, 则Sn=3+5+7+(2n+1)+(21+22+23+2n),-16-,考点1,考点2,考点3,例2已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求q的值和数列an的通项公式; 思

8、考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,-19-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列bn的公比,然后作差求解. 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步正确求出“Sn-qSn”的表达式.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2016河南洛阳月考)已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,nN*. (1)证明数列an-1为等比数列,并求

9、an的通项公式; (2)求数列nan的前n项和Tn.,-21-,考点1,考点2,考点3,解 (1)数列an的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,nN*, a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2. 当n2时,Sn-1=2an-1+n-1-3. -,得an=2an-1-1, an-1=2(an-1-1). 又a1-1=1,数列an-1是以1为首项,以2为公比的等比数列. an-1=2n-1,即an=2n-1+1. (2)an=2n-1+1,nan=n2n-1+n. 数列nan的前n项和 Tn=120+22+322+n2n-1+(1+2+3+n),-22-,考点1,考点2,考点3,-23-,考点

10、1,考点2,考点3,例3正项数列an的前n项和Sn满足: -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列an的通项公式an; 思考裂项相消法的基本思想是什么?,-24-,考点1,考点2,考点3,(1)解 由 -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得Sn-(n2+n)(Sn+1)=0. 由于an是正项数列, Sn0,Sn=n2+n. 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 又a1=S1=2,适合上式, 故数列an的通项公式an=2n.,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,解题心得裂项相消法的基本思想就是把an分拆成

11、an=bn+k-bn(kN*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的.在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.,-27-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2016山西朔州模拟)已知数列an为等差数列,且 ,3,a4,a10成等比数列. (1)求an; (2)求数列 的前n项和Sn.,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,1.数列求和,一般应从通项入手,若通项未知,先求通项,再通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 2.解决非等差、非等比数列的求和,主要有两种思路. (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通