高中数学课件 第二章 第8节 《幂函数与二次函数》

1、1.了解幂函数的概念. 2.结合函数yx，yx2，yx3，y ，y 的图象，了解它们的变化情况.,1.幂函数的定义 形如 (R)的函数称为幂函数，其中 为自变 量， 为常数.,yx,x,思考探究1 幂函数与指数函数有何不同？,提示：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置.,2.幂函数的图象,思考探究2 在上图第一象限中如何确定yx3，yx2，yx，y ，yx1的图象？,提示：画出直线xx0，当x01时， x0 ，即当x1时，从上到下依次为yx3，yx2，yx，y ，yx1的图象，在(1,1)点处相交.当x01时， 即当x1时，从上到下依次为yx1，

2、y ，yx，yx2，yx3的图象.,在 上减；在 上增,(0，,3.幂函数的性质,特征,函 数,性质,yx,yx2,yx3,y,yx1,定义域,值域,奇偶性,单调性,定点,在 上减； 在 上减,幂函数的图象过定点,R,R,R,R,R,0，),x|x0,0，),0，),y|y0,奇,偶,奇,奇,非奇非偶,增函 数,(，,0,),增函 数,增函 数,(，0),(0，),(1,1),4.二次函数的解析式 (1)一般式：yax2bxc(a0) (2)顶点式：y(xh)2k (3)两根式：y(xx1)(xx2),5.二次函数f(x)ax2bxc(a0)的单调区间是,和,1.下列函数中：y y3x2；yx

3、4x2； y 是幂函数的个数为 () A.1B.2 C.3 D.4,解析：由幂函数定义可知，y x3，y 为幂函数.,答案：B,2.已知点M( ,3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式 为 () A.f(x)x2 B.f(x)x2 C.f(x) D.f(x),解析：设幂函数的解析式为yx，则3( )， 2，yx2,答案：B,3.函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是() A. B.3 C.1 D.不存在,解析：函数y2x26x3的图象的对称轴为x 1， 函数y2x26x3，在x1,1上为单调递减函数， ymin2631.,答案：C,4.若二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2

4、x，f(0)1， 则f(x).,解析：设函数f(x)ax2bxc(a0). f(0)1，c1， 即f(x)ax2bx1. 又f(x1)f(x)2x， a(x1)2b(x1)ax2bx2x. 2axab2x.a1，b1， 即f(x)x2x1.,答案：x2x1,5.若函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线 x1对称，则f(x)max.,解析：由题知 f(x)x22x6，x4,6，当x4或6时， f(x)max30.,答案：30,幂函数yx的性质和图象，由于的取值不同而比 较复杂，一般可从三方面考查： (1)的正负：0时图象经过(0,0)点和(1,1)点，在第一象 限的部分“上升”；

5、0时图象不过(0,0)点，经过(1,1) 点，在第一象限的部分“下降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：1时曲线下凹，01 时曲线上凸，0时曲线下凹；,(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式 形式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.,特别警示无论取何值，幂函数的图象必经过第一象限，且一定不经过第四象限.,已知幂函数f(x) (mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，求满足： (a1) (32a) 的a的范围.,思路点拨,课堂笔记函数在(0，)上递减， m22m30，解得1m3. mN*，m1,2. 又函数的图象关于y轴对称，m22m3是偶数， 而222233为

6、奇数，122134为偶数， m1.,而f(x)x 在(，0)，(0，)上均为减函数， (a1) (32a) 等价于a132a0， 或0a132a或a1032a. 解得a1或 a . 故a的范围为 a|a1或 a .,一元二次函数的三种不同解析式实质上是一样的，用哪种形式的解析式，取决于不同的条件.求其解析式时一般用待定系数法，经过三点用一般式；给出顶点坐标，用顶点式；已知与x轴的两交点，用双根式.,特别警示二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解.在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起.,已

7、知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x) 与yf(x)的图象关于原点对称. (1)求f(x)与g(x)的解析式； (2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函数，求实数 的取值范围.,思路点拨,课堂笔记(1)由题意知： 解 得 f(x)x22x. 设函数yf(x)图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0 x，y0y. 点Q(x0，y0)在yf(x)的图象上， yx22x，yx22x，g(x)x22x.,(2)F(x)x22x(x22x)(1)x22(1)x. F(x)在(1,1上是增函数， F(x

8、)2(1)x2(1)0在(1,1上恒成立， 即 在(1,1上恒成立. 令u 1，由u 1在(1,1上为减函数可知，当x1时u取最小值0， 故0，即所求的取值范围是(，0.,若将例(2)中的“增函数”改为“单调函数”，求实数的取值范围.,解：F(x)(1)x22(1)x. 当10，即1时，F(x)4x在(1,1上为单调函数. 当10时，函数图象的对称轴为x ,则 1或 1， 解之得1或10， 综上所述，的取值范围为0.,二次函数求最值问题，首先采用配方法化为y a(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程 xm，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型： (1)顶点固定，区间也固定； (2)

9、顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨 论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；,(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数 的单调情况，从而确定函数的最值.,已知函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值.,思路点拨,课堂笔记f(x)4(x )22a2，对称轴为x . 当 0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数， f(x)minf(0)a22a2. 由a22a23，得a1 . a0，a1 . 当0 2，即0a4时，f(x)minf( )2a2. 由2a23，得a (0,4)，舍去.,当 2，即a

10、4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18. 由a210a183，得a5 ， a4，a5 . 综上所述，a1 或a5 .,二次函数是一种常考常新的“老函数”，特别是二 次函数的图象以及单调性是高考的常考内容，09年江苏高考将二次函数的概念、性质、图象与一元二次不等式的解法相结合，考查学生灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的能力，符合新课标的要求，是一个新的考查方向.,考题印证 (2009江苏高考)(12分)设a为实数，函数f(x)2x2 (xa)|xa|. (1)若f(0)1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h

11、(x)f(x)，x(a， )，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.,【解】(1)因为f(0)a|a|1， 所以a0，即a0. 由a21知a1. 因此，a的取值范围为(，1.(2分) (2)记f(x)的最小值为g(a).我们有 f(x)2x2(xa)|xa| ,(4分),(i)当a0时，f(a)2a2， 由知f(x)2a2，此时g(a)2a2. (5分) ()当aa，则由知f(x) a2；(7分) 若xa，则xa2a a2. 此时g(a) a2.,综上得g(a) (9分) (3)()当a(， ，)时， 解集为(a，)； (10分) ()当a ， )时， 解集为 ，)；(11分)

12、()当a( ， )时， 解集为(a， ，).(12分),自主体验 设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根 x1和x2满足0 x1x21. (1)求实数a的取值范围； (2)试比较f(0)f(1)f(0)与 的大小，并说明理由.,解：法一：(1)令g(x)f(x)xx2(a1)xa， 则由题意可得 0a3 . 故所求实数a的取值范围是(0,3 ).,或a3,(2)f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2. 当a0时h(a)单调增加， 当0a3 时， 0h(a)h(32 )2(32 )22(1712 ) 2 ，即f(0)f(1)f(0) .,法二：(1)同法一

13、. (2)f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2， 由(1)知0a3 ， 1 170，又 10，于是 2a2 (32a21) ( 1)( 1)0， 即2a2 0，故f(0)f(1)f(0) .,1.(2010长春模拟)当(x，)时，幂函数y(m2m1) x 5m3为减函数，则实数m的值为 () A.m2 B.m1 C.m1或m2 D.m,解析：函数y(m2m1)x5m3为幂函数， m2m11，即m2或m1. 当m1时，yx2，在(0，)上为增函数， m1； 当m2时，yx13，在(0，)上为减函数，m2.,答案：A,2.(2010沈阳模拟)若f(x)x2ax1有负值，则实数a的取 值范

14、围是 () A.a2 B.2a2 C.a2或a2 D.1a3,解析：f(x)x2ax1有负值， a240，即a2或a2.,答案：C,3.已知2x23x0，那么函数f(x)x2x1 () A.有最小值 ，但无最大值 B.有最小值 ，有最大值1 C.有最小值1，有最大值 D.无最小值，也无最大值,解析：2x23x0，0 x ， 又f(x)(x )2 ， f(x)minf(0)1，f(x)maxf( ) .,答案：C,4.方程mx22mx10有一根大于1，另一根小于1，则实 数m的取值范围是.,解析：令f(x)mx22m1， 当m0时，f(1)3m10，即m ，舍去； 当m0时，3m10，即m ， m0.,答案： m0,5.已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若、() 是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，之间的大小 关系是.,解析：已知函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，若、 ()是方程f(x)0的两个根，则实数a，b，之 间的大小关系是若令g(x)(xa)(xb)，显然函数g(x)的 两个零点是a，b函数f(x)的两个零点是，而函数 f(x)的图象是由函数g(x)的图象向上平移两个单位得到的， 结合图象可知：ab.,答案：ab,6.函数f(x)x24x4在闭区间