差分方程实验.ppt

1、数学实验,4.2 日常生活中的经济问题,银行存款与利率,假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,家庭教育基金,从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女

2、18岁入大学时所需的费用为30000元，按年利率10%计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元?,设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,抵押贷款,小李夫妇要购买二居室住房一套，共需10万元. 他们已经筹集4万元，另外6万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为1%，还贷期限为25年，问小李夫妇每月要还多少钱？,设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠款额为an，则 a0=60000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1

3、-x, n=1,2,3,分期付款,小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售价8000元的电脑，可分36个月付款，每月付300元即可. 同时他收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为15%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？,经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第n个月后的欠款额为an，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,一阶线性差分方程,在上述模型中，给出了an+1与an之间的

4、递推公式. 将它们写成统一的形式： a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3, 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方程，否则称为非齐次差分方程.,定义1 对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, ,定义2 对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二阶差分, 记为2A=(A). 即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an,一般地，可以定义n阶差分.,例1 用计算机计算存款模型的各阶差分.,(*首先计算20年内的存

5、款清单*) r=0.07;a0=1000;an_:=(1+r) an-1; money1=Tablen,an,n,0,20; TableFormJoin年份, 存款额,money1,(*其次计算各阶差分*) dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan; d3an_:=d2an+1-d2an; diff=Tablen,an,dan,d2an,d3an,n,0,9; TableFormJoinN,An,Dan,D2an,D3an,diff dif1=Transposediff; TableFormdif13/dif12,dif14/dif13, dif15/dif14,差分方程

6、an=b的解,由 an+1-an=b, n=0,1,2, 得 an-a0=n b. 如果a0=c, 则有 an=n b+c. 一般地, 差分方程 k an=b 的解是: an=ck nk+ck-1nk-1+c1n+c0, 其中 ck=b/k!.,验证如下： an_:=c4n4+c3n3+c2n2+c1n+c0; dan_:=an+1-an;d2an_:=dan+1-dan; d3an_:=d2an+1-d2an;d4an_:=d3an+1-d3an; d3an/Simplify d4an/Simplify,差分方程 an+1= an+b的解,定理1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通

7、解是：,定理2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 | |1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).,家庭教育基金模型,由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解:,将 a0=x, =1+r, b=x 代入, 得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解是:,将 a18=30000,r=0.1 代入计算出 x=586.41.,购房抵押贷款模型,由 a0=60000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3, 将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解:,若在第N个月还清贷款，令 aN=0, 得:,将 a0=600

8、00, r =0.01, N=25*12=300 代入计算出 x=631.93.,分期付款模型,若小王采取分期付款方式，每月要付300元. 如果采用贷款方式，类似于上一模型，将 a0=8000, r =0.15/12,N=36 代入计算出 x=277.32.,比较两种支付方式，他应该选择消费贷款方式。,4.3 Fibonacci 数列,问题,13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作算盘书中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？,将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，

9、经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.,Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形,观察Fibonacci数列,(*计算Fibonacci数列的前20项，并作图*) F0=F1=1; Fn_:=Fn-1+Fn-2; fib=TableFi,i,0,20 tu1=ListPlotfib,PlotStyle-PointSize0

10、.018;,(*取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线.*) lgf=Logfib; tu2=ListPlotlgf,PlotStyle-PointSize0.018; (*使用线性函数对数据进行拟合*) fx_=Fitlgf,1,x,x tu3=Plotfx,x,0,21,PlotStyle-RGBColor0,0,1; Showtu3,tu2,通过计算可知， fn0.465577 e 0.478438n.,Fibonacci 数列的通项公式,Fibonacci 数列满足递推关系 fn+2 = fn+1 + fn，称为二阶线性差分方程.,通过前面的计算，可以猜测 fn 具有指数形式. 不妨

11、设 fn =n, 代入差分方程，得 2- -1=0. 其解记为1, 2. 得到差分方程的通解为: fn =C11n+C22n.,r=Solvex2-x-1=0,x; a=x/.r1;b=x/.r2; F1n_:=c1 an+c2 bn; cc=SolveF10=1,F11=1,c1,c2/Simplify F1n/.cc1/Simplify,生成函数,对给定数列a0,a1, an,，以an为系数构造一个形式幂级数： G(x)= a0+ a1x+ a2x2+an xn+ 称为数列an的生成函数(也称为母函数).,例1. 有限数列 的生成函数是 G(x)=(1+x)n.,例2. 无穷数列 的生成函

12、数是 G(x)=ex.,例3. 以G(x)= 为生成函数的数列是an=2n-1.,Fibonacci 数列的生成函数,设Fibonacci 数列的生成函数是: F(x)= f0+ f1x+ f2x2+fn xn+, 其中 fn+2 = fn+1 + fn .,由 ， 得 .,从而得 . 再由 f0=f1=1, 得:,4.5 分叉与混沌,Logistic 方程,在受环境制约的情况下，生物种群的增长变化行为比较复杂. 例如在池塘内，环境可供1000条鱼生存.在鱼的数量远远低于此数时，鱼群的增长接近于指数增长. 但当鱼的数量接近生存限时，由于生态环境逐渐恶化，鱼群的增长逐渐变慢，几乎停止增长. 如果

13、鱼群数量超过了生存限，由于环境不堪重负，鱼群会出现负增长.,这种现象可以用logistic方程进行刻画. pn+1-pn=k pn(N-pn),例1 池塘中鱼的数量满足差分方程 pn+1-pn=0.001 pn(1000-pn) 选择不同的初值，观察鱼群数量的变化趋势.,px_:=2x-0.001x2; picta_:=Moduledata1,data1=NestListp,a,30; ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict0; pict1; pict500; pict1000; pict1500;,例2 学校有两名同

14、学在星期一返校时患了流感，假设流感的传染率为0.002，问两周之后全校400名学生中会有多少人感染过流感？,记 an 为到第n 天时感染过流感的学生人数. 假定流感患者的增加速度与流感患者同尚未感染流感的接触次数an(400-an)成正比. 因此，an满足logistic方程 an+1-an=0.002 an(400-an),p1x_:=x+0.002x(400-x); pict1a_:=Moduledata1,data1=NestListp1,a,14; ListPlotdata1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,PointSize0.018 pict12;,Logistic

15、 方程的迭代,logistic方程是非线性方程，其标准形式为: an+1=r an(1-an), 下面通过实验观察迭代数列的收敛性.,logisticr_,a_,n_:= Modulep,data,tu1,tu2,px_:=r x(1-x); data=NestListp,a,n; tu1=ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.018, DisplayFunction-Identity; tu2=ListPlotdata,PlotJoined-True, PlotStyle-RGBColor0,0,1, DisplayFunction-Identity; Show

16、tu1,tu2, DisplayFunction-$DisplayFunction;,(* 初值 r=0.7, a0=0.2 *) logistic0.7,0.2,30; 容易看出，迭代数列单调收敛于0.,(* 初值 r=2.9, a0=0.2 *) logistic2.9,0.2,30; 迭代数列上下振荡，趋向于不动点(r-1)/r.,(* 初值 r=3.4, a0=0.2 *) logistic3.4,0.2,30; 经过一段时间的调整，迭代数列开始接近在0.42和0.82之间振荡. 这类振荡称为2-循环.,(* 初值 r=3.55, a0=0.2 *) logistic3.55,0.2,

17、30; 出现了周期为4的振荡，称为4-循环.,通过以上的观察可以发现，当参数 r 变化时，相应的迭代数列从收敛到唯一的不动点(1-循环)到2-循环再到4-循环，这样的分裂行为称为分叉(bifurcation).,(* 初值 r=3.7, a0=0.2 *) logistic3.7,0.2,30; 此时没有稳定的周期性. 迭代数列在区间(0,1)内振荡，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，这种状态称为混沌(chaos).,Feigenbaum 图,设 f(x) 是定义在实数域上的实值函数，如果存在 x*，使得 f(x*)=x*，则称 x*为 f(x) 不动点. 如果所有附近的点在迭代过程中都趋

18、于某个不动点，则称该不动点为吸引点，或称为稳定点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则称该项点为排斥点(不稳定点). 如果 f(a1)=a2, f(a2)=a3, , f(ak)=a1,并且 aj a1, j=2,3, , k, 则a1, a2, , ak 构成一个k-循环. a1称为k-周期点，a1, a2, , ak 称为一个k-周期轨道.,为了观察 r 对迭代格式 an+1=r an(1- an) 的影响，将区间(0,4以步长r 离散化. 对每个离散的 r 值进行迭代，忽略前50个迭代值，把点(r, a51),(r, a52), , (r, a100)显示在坐标平面上. 这样形成

19、的图形称为Feigenbaum图, 它反映了混沌与分叉的基本特性.,Feign_,x0_:= Moduleplist=,a,i,temp,pilist=, Fora=1,a RGBColor1,0,0,PointSize0.008, DisplayFunction-Identity; Showpilist,DisplayFunction-$DisplayFunction; Feig500,0.2;,练习二,对迭代格式 an+1=4 an(1-an), n=1,2, 使用初值0.21进行迭代，记录前100次的迭代数据. 把0,1区间十等分，统计迭代数列中落在各个小区间内的项数，做出统计表. 迭代数列在0,1区间内分布均匀吗？任取区间(0,1)内的一些初值重复这一实验，总结实验结果.,对迭代格式 an+1=3.45 an(1-an), n=1,2, 重复上述实验，实验结果有区别吗？你能解释这个现象吗？,statisticr_,a_,n_:= Modulep,dat