12-2常数项级数敛散性的判定法

1、常数项级数敛散性的判定法,第二节,正项级数的概念,则称其为正项级数,一、正项级数及其敛散性的判定法,则其部分和数列 单调增加,如果部分和数列 有上界，,如果部分和数列 没有上界，,从而我们有正项级数收敛的充要条件,解,由图可知,的收敛性,发散,所以 没有上界，,发散,p-级数,发散,所以 没有上界，,发散,由图可知,所以 有上界，,收敛,综上所述，我们有以下重要结论：,调和级数，,调和级数是发散的,二、正项级数敛散性的判定法,1. 比较判定法,定理,证明,即 的部分和数列有上界，,由(1)用反证法可证(2),1. 比较判定法,定理,根据级数的性质，定理中的条件,可放宽为：,利用比较判定法判定正

2、项级数的敛散性，需要,找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数,常用的比较级数是,几何级数，p-级数,例2,解,另解,利用比较判定法判定正项级数的敛散性，需要,找一个已知敛散性的正项级数作为比较级数,如果所需判定的正项级数收敛，则需找一个通项,较大的收敛的正项级数作为比较级数,如果所需判定的正项级数发散，则需找一个通项,较小的发散的正项级数作为比较级数,从而在实际问题中，直接应用比较判定法有,很大的盲目性，且也很不方便,为此我们给出方便实用的比较判定法的极限形式,定理(比较判定法的极限形式),证明,由比较判定法知,例3,解,判定下列级数的敛散性,例4,判定下列级数的敛散性,解,推论,例5,证,由

3、上述推论知,2. 比值判定法(达朗贝尔判定法),定理,证明,从而有,注意,比值判定法的优点:,不必找比较级数,解,例6,判定下列级数的敛散性,例7,判定级数 的敛散性,解,所以原级数发散,例8,证 (1),例8,证 (2),例9,判定级数 的敛散性,解,3. 根值判定法(柯西判定法),定理,例10,解,4. 柯西积分判定法,定理,例11,解,例12,(A),(B),(C),(D),解,正确的选项应是 B,故 A、D 错,故 C 错,二、交错级数及其敛散性判定法,1. 交错级数的概念,称为交错级数它是正负项相间的级数,2. 交错级数敛散性的判定法,莱布尼茨定理,莱布尼茨定理,证明,且满足收敛的两

4、个条件，,定理证毕,也是交错级数，,解,所以级数 收敛,以后可以证明：,由定理可知，若以,例14,判定级数 的敛散性,解,三、绝对收敛与条件收敛,前面我们讨论了正(负)项级数与交错级数敛散性的,判定法，,定义,下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性,如级数 收敛，,所以级数 条件收敛,证明,定理,即 绝对收敛的级数本身一定收敛,定理的作用：,任意项级数,正项级数,例15,问级数 绝对收敛，还是条件收敛？,解,条件收敛,例16,判定级数 的敛散性,解,绝对收敛；,条件收敛；,发散,例17,判定级数 的敛散性,解,根据比较判定法，,原级数绝对收敛,例18,解,(A),(B),(C),(D),例18,解,(A),(B),(C),(D),例19,解,(A),(B),(C),(D),例19,解,(A),(B),(C),(D),比(根)值判定法的一般形式,则当 时，级数绝对收敛；,当 时，级数发散；,解,最后我们介绍比(根)值判定法的一般形式,思考题,解答,由比较判定法知 收敛,反之不成立,例如：,收敛，,发散,四、数项级数敛散性判定法小结,正 项 级 数,任意项级数,敛散性的判定,1.,3.按基