三角形中的角平分线

1、第一章 三角形的证明,4 角平分线 （第1课时）,1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题.,学习目标,思考：要在S区建一个集贸市场. （1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？ （2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的 交叉处400米，应建在何处？ （比例尺 1：20 000）,新知探究,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？,再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？,（对折）,什么是角平分线？怎样画角平分线？,2.分别以M，N为圆心 大于 MN的长为半径弧 两弧在AOB的内部交

2、于C,如何用尺规作角的平分线？,A,B,作法：,1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N,3.作射线OC,则射线OC即为所求,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,探究角平分线的性质,同学甲、乙谁的画法是正确的?,按照做一做的顺序画AOB的折痕OC ,过点P的垂线段PE，PF ，并度量所画PE，PF是否等长？,C,C,议一议：由折一折和画一画你可得到什么猜想？,你能证明这个结论吗？,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA

3、，PEOB，垂足分别为D，E求证：PD=PE 证明：OC是AOB的平分线， PDOA，PEOB， 1=2，PDO=PEO=90. 又OP=OP， PDOPEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等).,定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点，PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知)， PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)., 如图，AD平分BAC（已知），, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.,BD CD,判断,1.,练一练, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知），, = .（ ）,在角

4、的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,不必再证全等,2.,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ （前提条件）,已知：如图,PDOA，PEOB， 点D，E为垂足，PDPE 求证：点P在AOB的平分线上,已知：在AOB内部有一点P，且PDOA，PEOB，D，E为垂足且PD=PE，求证：点P在AOB的角平分线上,证明：PDOA，PEOB， PDO= PEO=90. 在RtODP和RtOEP中， OP=OP，PD=PE， RtODP RtOEP(HL) 1=2(全等三角形对应角相等) . 点P在AOB的角平分线上,1,2,判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等

5、的点,在这个角的平分线上.,PDOA，PEOB，垂足分别是D，E(已知), 且PD=PE, 点P在AOB的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).,这样，我们又可以得到一个结论：,思考：要在S区建一个集贸市场. （1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？ （2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的 交叉处400米，应建在何处？ （比例尺 1：20 000）,梦想成真,典型例题,例1 如图，在ABC中，BAC=60，点D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且DE=DF，求DE的长.,证明：DEAB，DFAC ，DE DF， AD平分BAC

6、. 又BAC=60， BAD=30. 在RtADE中， AED=90，AD=10， DE= AD= 10=5 .,例2 已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD, DEAB,DFAC,垂足分别是E,F. 求证: BE=CF.,证明：AD平分CAB， DEAB，DFAC， DE DF(角平分线的性质). 在tBDE和RtCDF中, DE=DF （已证）， BD=CD（已知）， RtBDERtCDF (HL). BE=CF （全等三角形对应边相等）.,例3 已知:如图,在ABC中，BD=CD,DEAB, DFAC, 垂足分别是E,F.且BE=CF. 求证: AD是BAC的角平分线.

7、,证明：DEAB，DFAC， DEB=CFD=90. 在tBDE和RtCDF中, BE=CF （已证）， BD=CD（已知）， RtBDERtCDF (HL). DE DF(全等三角形对应边相等). 又DEAB，DFAC， 点D在A的角平分线上，即AD是它的角平分线.,例4 已知:如图,在ABC中,AD是它的角平线,DEAB, DFAC,垂足分别是E,F. 求: AD与EF关系.,解:AD平分CAB ，DEAB，DFAC， DE DF(角平分线的性质)， DAE=DAF. DEB=CFD=90， ADE=ADF,即AD是EDF的角平分线. DE DF, AD是EDF的角平分线， AD垂直平分EF(三线合一）.,1.如图，AD平分BAC，点P在AD上，若PEAB，PFAC，则PE_PF.,=,随堂练习,2.如图，PDAB，PEAC，且PD=PE，连接AP，则BAP_CAP.,=,3.如图，BAC=60，AP平分BAC，PDAB，PEAC，若AD= ，则PE=_.,1,4.已知：在等腰RtABC中，AC BC，C90，AD平分BAC，DEAB于点E. 求证：BDDE AC.,变式 已知AB