高中数学 2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐运算》 新人教B版必修4（通用）

1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐运算（一） 教学目标1 知识与技能：(1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算; ( 2 )会用坐标表示平面向量共线条件.2.过程与方法：(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义;(2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;3.情感、态度与价值观：通过本节学习,培养学生的理性与探索精神.（二） 教学重点、难点教学重点是向量的直角坐标运算与用平面向量坐标表示向量共线条件;教学难点是应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题（三） 教学方法本节内容是在学习了平面向量的基本定理和向量的正交分解

2、的基础上,进一步学习向量的直角坐标运算,以及用平面向量坐标表示向量共线条件,教学中引导学生联系已有知识，类比平面直角坐标系，通过探究平面向量的坐标表示，体现数形结合思想。（四） 教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习提问平面向量基本定理向量的正交分解学生回答复习旧知识,引出新知识定理形成设a=(a1,a2),b=(b1,b2), 求a+b的值。a+b=( a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=( a1+ b1) e1+( a2+ b2) e2即 a+b=( a1+ b1，a2+ b2)用同样的方法可以证明ab=( a1b1，a2b2),a=(a1, a2)=(a1, a2)说明：

3、两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。教师提出问题，学生动手解题。教师完善。通过学生动手实践、观察、比较得出向量的线性运算法则，发展学生的理性思维能力。教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例2已知A（x1,y1）,B( x2,y2),求向量 的坐标解： =( x2,y2) （x1,y1）=（x2 x1，y2 y1）。说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。例3在直角坐标系xOy中，已知点A（x1,y1）B( x2,y2),求线段AB中点的坐标。说明：设M(x,y)是线段AB的中点，则=1/2（+） = 1/2（x1

4、,y1）+( x2,y2)即 x=y=小结：例3得到的公式，叫做线中点的坐标公式，简称中点公式。教师提问：如果要求向量BA的坐标， 学生：BA=（x1 x2， y1 y2）体会数形结合思想教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例6已知A(2，1)，B（1，3）求线段AB中点M和三等分点坐标P，Q的坐标（教材P102图244）。说明：(1) 求中点M的坐标，利用例3得到的公式可知M(1/2，2) (2) 因为 = =（1，3）(2，1) =（3，2）=+1/3 = (2，1)+1/3（3，2） =（1，5/3）=+2/3= (2，1)+ 2/3（3，2） = (0，7/3)所以P（1，5/3）

5、，Q(0，7/3)教师做出图象，指导学生学生找出解题思路，师生共同完成例3，例6，应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题，进一步渗透数形结合思想的应用。教学环节教学内容师生互动设计意图课堂练习P101 例4在直角坐标系xOy中，已知点A(3,2), B（2，4）求向量+的方向和长度（教材P101图242）。说明：设=+= (3,2)+（2，4）= (1,6) 所以=12+62 =37 设的相对x轴正向的转角为 a，则tan a=6，得a=arctan 6.P101例5 已知ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，求顶点D的坐标（图243）。说明：解题的关键是找到向量OD与向

6、量OA、OB、OC的等量关系，然后用向量的线性运算求出来。让学生做草图，通过图象来独立完成。学生动手解题。让学生及时巩固所学方法。培养学生独立分析问题、解决问题的能力教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例回忆两个向量平行的条件：a=b，b0.那么当向量a的坐标为a（a1,a2）,b的坐标为（b1,b2）时，代入上式，得 （a1,a2）=（b1,b2），（a1,a2）=（b1, b2）即 a1=b1 ， a2=b2a1b2 a2b1=0式就是两个向量平行的条件，那么当向量b不平行于坐标轴时，即b10，b20时，式可化为：a1/b1= a2/b2 式用语言可表示为，两个向量平行的条件是，相应坐标

7、成比例。教师提问：两个向量平行的条件：a=b 如果a（a1,a2）,b（b1,b2），那么如何用坐标来表示两个向量平行。学生完成，教师指导，指出要注意零向量可与任一向量平行。体会几何问题代数化，如何用数量来判断平面内的几何关系教学环节教学内容师生互动设计意图课堂练习P104 例1 已知向量 =（2，5）和向量a(1,y),并且向量 a，求a的纵坐标y。解：利用式可求出y的值，152y=0 所以y=5/2。例2 在直角坐标系xOy内，已知A(2,3)、B(0,1)、C(2,5)，求证：A、B、C三点共线。 说明：利用向量的线性运算求出向量AB、AC的坐标，再利用式 ，就可知A、B、C三点共线。例1 学生独立完成，例2教师通过做图讲解利用共线条件证明三点共线。巩固所学知识方法归纳小结学习了向量的坐标运算，可使平面内的几何问题代数化、数量化，将数与形紧密的联系起来；学习了运用平面向量坐标表示向量共线的条件，能判定给定向量平行，还可利用共线条件证明三点共线。师生共同完成使学生养成归