高中数学 2.3.2《数学归纳法应用举例》素材（2） 新人教A版选修2-2（通用）

1、谈如何解归纳型探索性问题归纳型探索性题是高考重点之一，也是解题的重要方法，应引起足够重视，解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律。 这类题目特点及解题步骤1 这类题目特点是：第一步是给出与整正数有关的命题结构，第二步要求计算出最初几个初始值，第三步要求通过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般规律，作出科学的猜想和判断，最后用数学归纳法对所作的猜想作出科学的证明。2 思维步骤：试验归纳推广猜想证明，具体做法是：对所研究的问题通过观察与试验，发现它们某种共性，然后猜想此类对象的全体也有这种共性，接着用数学归纳法证明猜想的正确性。二 典型例题1：先计

2、算再归纳猜想，最后证明例1 是否存在常数a、b、c，使得等式对一切自然数成立？并证明你的结论。 解析：假设存在a,b,c使上式对 nN均成立，则当时上式显然也成立，此时可得解此方程组可得a3，b11，c10下面用数学归纳法证明等式=对一切自然数均成立。当时，命题显然成立。假设时，命题成立。即，那么当时， 。命题也成立。综上所述，存在常数使得等式对一切自然数均成立。2 没有给出猜想信息，先创造条件的出结论，再证明 例2：数列满足，求数列的通项公式。 解：， 由，变形整理，得取正根得， 由及，得，变形整理，得，取正根得。同理求得由此猜想。 用数学归纳法证明如下：（1）：当1时，上面已求出1，结论成

3、立。 （2） 假设当时，结论成立。即 那么当时，=, 整理得，取正根得，故时，结论成立。 由（1）、（2）知，对一切成立。 3 赋值、猜想证明 例3：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足：，若求证：。 分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想证明四步完成。 证明：令 当时，； 当时， 当时， 猜想用数学归纳法证明如下：（1） 当时， 式成立，（2）假设时(*)式成立。即， 当时， 时，(*)式成立。 由（1）、（2）知，对成立。所以要证明结论成立，只需证明高考资源网数学归纳法的应用近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳发

4、现结论，又要求能证明结论的正确性.用数学归纳法证明一个命题主要有两个步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立；（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立此外，还要结合（1）和（2）得出一个总论下面就一道数学归纳法、数列、不等式等知识交汇的高考题进行例析.例（2020年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第n年年初的总量，且不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数（）求与的关系式；（）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？

5、（不要求证明）（）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论分析与解：（）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，故，（）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，从而由式得恒等于0， ，所以，即因为，所以猜想：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变（）若的值使得，由，知，特别地，有，即而，所以，由此猜测的最大允许值是1下面证明当，时，都有， 当时，结论显然成立 假设时结论成立，即，则当时，又因为，所以，故当时结论也成立由 ，可知，对于任意的，都有综上所述，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1高考资源网数学归纳法应用中的四个常见错误数学归

6、纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。现举例如下：（1） 初始值估计的错误。归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处。通常是1，但不总是1。有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析。例1.用数学归纳法证明“+1对于n的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.5 【答案】 选D例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是A. 1 B. C. D.以上答案

7、均不正确。【答案】选C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。（2） 对项数估算的错误 用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。举例如下：例3.用数学归纳法证明不等式n（n）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1 B. -1 C. D. +1解析;当n=k时，左端= 当n=k+1，左端=括号内的部分是增加的式子，计算可知共项点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k和n=k+1左端进行对比，就

8、不会发生错误了。【答案】 选C例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+n)= 13(2n-1)(nN)时，从“n=kn=k+1”两边同乘以一个代数式，它是（ ）解析：当n=k时，= 当n=k+1时，=通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1。故答案选D。点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。因为每一项中都有n，项数会有增有减。（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣。例5.用数学归纳法证明的过程如下：当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，所以，当n=k+1时等式成立。由此可知，对任何，等式都成立。上述证明的错误是 【答案】没有用上归纳递推。正确的解法是，即用上了第二步中的假设。点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步起始值的确定，或忘记归纳结论