52配方规范.ppt

1、第五章 二次型,1,上课,手机 关了吗？,复习,标准形:,线性替换:,XCY. 可逆线性替换； 正交替换,XC1U，UC2Y,C1、C2为正交阵,(1),(2),C1C2为正交阵,X(C1C2)Y,原二次型 f ( X )X TA X,XCY,新二次型 f ( Y )Y TB Y,B与A关系?,BC TACA与B合同,(反身、对称、传递性，秩相等),化二次型为标准形,给定对称矩阵A，求可逆矩阵C, 使CTACD (对角阵),1.正交替换法,2.配方法,(定理1),3.初等变换法,第五章 二次型,4,二、配方法,定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性替换化为标准形.,证明略。后面以例说

2、明.,定理3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.,A,二次型XTAX,定理2,标准形YTDY,D,5.1定理D=CTAC,A D,先给出定理的等价命题用“矩阵合同”概念表述定理:,例2. 用配方法化二次型,为标准形，并求出所用的非退化线性替换.,y1x12x2,y2x2x3,y3x3,第五章 二次型,6,注：用正交替换法化该二次型为标准形,与配方法结果不同，二次型的标准形不唯一.,正交替换XQY，原二次型化为：,第五章 二次型,7,例3. 用配方法化二次型,为标准形,并求出所用的非退化线性替换.,例4. 用配方法化二次型,为标准形,并求出所用的非退化线性替换.,解: 二次型中不含平方项,

3、 无法配方. 由于含交叉项, 故先作非退化线性替换：,得：,再配方，得,令,即,二次型化为标准形：,二次型化为标准形：,所作非退化线性替换为：XCZ，其中,思考：用可逆线性替换将下列二次型化为标准形,10,三、初等变换法,若对A施以初等行变换的同时施以相应的初等列变换，将A化为对角矩阵D, 则对E仅施以上述一系列列变换即得C,C可逆,C=P1P2Pk,EP1P2PkC,PkT P2TP1TAP1P2PkD,化二次型为标准形,给定对称矩阵A，求可逆矩阵C, 使CTACD (对角阵),CT=,PkT P2TP1T,CTACD即:,PkT P2TP1TAP1P2PkD,P156 例5-6、5-7,例

4、5 用初等变换法化,为标准形.,解,?,！,(5.1例1),5.2例1,再令,可逆线性替换后：,又常常对各项符号感兴趣, 可再令,(可逆),则,5.3 化二次型为规范形,5.2例5作何变换得此结果?,定义 形如,的二次型称为实数域R上二次型的规范形.,其矩阵为,规范形的秩r,p个,rp个,nr个,正交替换法：,配方法：,二次型的标准形不唯一，但规范形唯一.,前者经,后者经,均化为规范形:,r相等;正(负)项个数相同,惯性定理 任一实二次型f 均可经可逆线性替换化为规范形 ,且规范形唯一.其中r为二次型f 的秩 (r, p, r-p均唯一确定),第五章 二次型,15,定义 实二次型f 的规范形中

5、, 正系数的个数p称为f 的正惯性指数, 负系数的个数r-p称为f 的负惯性指数，它们的差p-(r-p)2p-r称为f 的符号差.,惯性定理推论 实二次型f 的不同标准形系数为正的平方项个数相同，等于f 的正惯性指数p, 系数为负的平方项个数也相同，等于f 的负惯性指数r-p.,惯性定理 任一实二次型f 均可经可逆线性替换化为规范形 ,且规范形唯一.其中r为二次型f 的秩 (r, p, r-p均唯一确定),惯性定理用矩阵合同语言表述为,定理 任一实对称矩阵A与对角矩阵,合同, 其中+1和-1的个数共有r(A)个, 1的个数由A唯一确定, 称为A的正惯性指数.,推论 两个n阶实对称矩阵合同的充要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等.,Ep,-Er-p,注 合同的矩阵有相同的规范形，其正惯性指数为矩阵的正特征值的个数.,第五章 二次型,17,作业：P183,4,第五章 二次型,18,下课,第五章 二次型,19,作业：P172,4(2)；5(1) 4(1)换,第五章 二次型,20,练习. 用配方法化二次型,为标准形,并求出所用的非退化线性替换.,即,即,第五