3.6函数的单调性

1、,3.6 函数的单调性,2020年7月12日星期日,问题：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性?,1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.,2)由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1 x2 ； (2)作差f(x1)f(x2)，并变形； (3)判断差的符号，从而得函数的单调性.,一、复习引入：,例1、讨论函数y=x24x3的单调性.,解：取x1f(x2)， 所以 y=f(x)在区间(-,2)单调递减。 当20， f(x1)f(x2)

2、， 所以 y=f(x)在区间(2,+)单调递增。 综上:y=f(x)单调递增区间为（2，+） y=f(x)单调递减区间为（，2）.,单增区间：(-，-1)和 （1，+）.,单减区间：(-1，0）和 （0，1）.,例2、讨论函数 的单调性.,发现问题： 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如：y=x+1/x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过单调函数的图象来考察一下：,单调性的判别法：,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（或下降）的。,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？,进一步,若曲线在某区间

3、内每点处的切线斜率都为正（或负），即切线的倾角全为锐（或钝）角，曲线就是上升（或下降）的.,二、讲授新课：,2,.,.,.,.,.,.,.,观察函数y=x24x3的图象：,总结: 1)该函数在区间(,2) 上单减,切线斜率小于0,即 其导数为负,2)在区间(2，+)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.,3)当x=2时其切线斜 率为0,即导数为0. 该点为函数单调性的转折点.,结论: 一般地,设函数y=f(x)在某个开区间内可导,则函数在该区间 如果f(x)0, 则f(x)为增函数; 如果f(x)0, 则f(x)为减函数. 注意: 如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常值函数.,应用

4、：由于函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性.,（1）求函数的定义域:,（2）求函数的导数:,函数 的定义域是,（3）令 以及 ，求自变量 的取值范围，即函数的单调区间.,令2x-40，解得x2,即 时， 是减函数.,令2x-40，解得x2,即 时， 是增函数；,例3、确定函数 ，在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：,例4、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.,解:函数的定义域为R,令6x2-12x0,解得x2， 则f(x)的单调递增区间为(,0)和(2,).,再令6x2-12x 0,解得0x2, 则f(x)的单调递减区间为(0,2).,注:当x

5、=0或2时, f(x)=0,即该点为函数单调性的转折点.,f(x)=6x2-12x,总结： 根据导数确定函数的单调性一般需三步： 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f (x)0,得函数单增区间; 解不等式f(x)0,得函数单减区间.,例5、研究y=x3的单调性.,例7、求函数f(x)=x2-lnx2的单调区间.,练习1： 讨论函数 的单调性.,练习3： 求函数y=x-2sinx(0 x2)单调区间.,练习2： 证明：方程 只有一个实根 .,1）函数f(x)=x3-3x+1的递减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),2）若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )， 则a的取值范围为( ) (A) a0 (B) 11 (D) 0a1,3）当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)增函数 (C) 部分单