第12章势垒贯穿-谐振子-氢原子.ppt

1、2. 波长为 4000 的平面光波朝 X 轴正向传播。若波长的相对不确定量 / = 10-6，则光子动量数值的不确定量 px = ，而光子坐标的最小不确定量 x = 。,1. 在单缝电子衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1 nm，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量 Dpy = Ns。,63.7 mm,1.6610-33 kgm/s,4. 设一维运动粒子的波函数为 其中 a 为大于零的常数。 求：(1) 归一化因子 A；(2) 粒子坐标的平均值？,3. 己知粒子在宽度为 L 的一维无限深方势阱中运动，其波函数为： ，其中 c 待定， 则 0 L/3 区间发现粒子的概率为 。

2、,0.21,解：,由归一化条件,得,已知：,L：无限深势阱宽度，c 待定。,求：,例 设一维运动粒子的波函数为 。 其中 a 为大于零的常数。 求：(1) 归一化因子 A；(2) 粒子坐标的平均值？,解：(1) 由归一化条件,因积分,解得,(2),大学物理期末考试复习范围 本学期大学物理不考的内容为 第 7章 7.4.6电势梯度 第 9章 9.3.3 运动电荷产生的磁场 9.6.3 霍耳效应 9.7.5 铁磁质 第10章 10.2.3 涡电流及电磁阻尼 10.6 超导 第11章 11.6 广义相对论简介 第12章 12.1.1 黑体辐射 12.7.2 势垒贯穿 12.9 激光 第13章 13.

3、1.3 态密度、费米狄拉克分布 13.3.3 半导体器件,试卷给定的基本常数为： 普朗克常数， 真空介电常数， 真空磁导率， 电子的静止质量。,期末考试题型分为三类： 选择题、 填空题、计算题,定态薛定谔方程,能量是量子化的：在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。,零点能：最低的能级是 n = 1 能级 ； 对经 典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。,相邻两个能级之差 ，可 见，a 越大 DE 越小，当 a 大到宏观尺度时，DE 0，能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。,称为能量本征波函数。,全部

4、波函数为：,(3) 势阱中粒子的动量为：,德布罗意波长为：,波长也量子化了，它是势阱长度 a 的 (1/n)的两倍。粒子的每一个能量本征态对应于一个特定德布罗意波长的驻波。,(2) 定态波函数为：,入射波 反射波,自由电子逸出金属表面时，实际遇到的是势垒 U = U0。如图所示：,粒子能量 E U0，在 x 0 区，经典力学认为它是不能越过 U0 势垒。,区,区,区：,由量子力学：,令,区：,令,12.7.2 势垒穿透(Barrier penetration),“有限”要求 D = 0，,（E U0，衰减解）,粒子仍有可能在 区出现！,区,区, 区,如果势能曲线如图所示， 有一个“势垒”。,可

5、以想见，原来在区的粒子也可以在势垒的另一边 区出现！,这称为“量子隧道效应”。,STM (Scanning Tunneling Microscope) 是观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。,原理：,隧道电流 I 与样品和针尖间 的距离 S 关系极为敏感。,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理奖。,隧道效应已经被实验完全证实。 粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子，黑洞的量子蒸发、热核反应也是隧道效应的结果。隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜(STM)。,由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理学奖。,前两人是扫描隧穿

6、显微镜的直接发明者， 第三人是 1932 年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。,鲁斯卡,罗赫尔,宾尼格,硅表面77重构图,砷化镓表面砷原子的排列,碘原子在铂晶体上的吸附,硅表面硅原子的排列图,1933年，科罗米等在铜表面用扫描隧道显微镜针尖的操作，移动48个 Fe 原子组成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。,原子操纵,1994年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过STM 在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原

7、子)的线条。从STM获得的照片上可以清晰地看到由这些线条形成的“100”字样和硅原子晶格整齐排列的背景。,12.7.3 谐振子(Harmonic oscillator),微观粒子的势能函数是,有一维定态薛定谔方程,可用级数展开法解上述方程，求解超出本课程的范围。, 一维变系数常微分方程,m：振子质量，：固有频率，x：位移,哈密顿量,为使波函数应满足自然条件(连续、有限、单值)，谐振子的能量必须是量子化的。求得能级公式为(其中 n 为量子数)：,1. 普朗克假设的谐振子能量量子化是解薛定谔方程的自然结果。,2. 能级是等间隔的，能量间隔 h 与黑体辐射理论同。 基态能量为 E0 = hn/2=

8、w/2，称为零点能。,零点能：谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。这与经典力学截然不同，是波粒二向性的表现，可用不确定关系加以说明。,3. 概率密度分布, 量子：概率密度呈波动状， 在 E U 的区域也有出现概率， n = 0 ，x = 0 处粒子出现概率最大, 经典：E U 的区域不可能出现， x = 0 处粒子速度最大，概率最小, 当 n 时：,量子概率分布几乎 经典分布,例 弹簧振子质量 m = 1g，弹性系数 k = 0.1N/m，振幅 A = 1mm，求能级间隔，估算总能量所对应的量子数 n。,解：弹簧振子的角频率,能级间隔,宏观振子总能量,得量子数,由,可见，宏观谐振子

9、是处于非常高的能级。相邻能级间隔小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。,例 对谐振子，其基态波函数为 ，其中 A、a 为常量。将此式代入薛定谔方程，试根据所得出的式子在 x 为任何值时均成立的条件得出谐振子的零点能为,解：,一维定态薛定谔方程,对此题有,将 代入，整理后可得,由前式求出 a，代入后式即可得,由于此式在 x 为任何值时均成立，应有 x2 项的系数为零，而上式等式右侧也为零。由此得,一、氢原子的薛定谔方程,12.8.2 氢原子 (Hydrogen atom),在氢原子中，系统的势能,将 代入定态薛定谔方程中，得,其中 r 为电子到质子的距离。由于势能具有球对称，所以利用球坐标

10、的薛定谔方程比较方便。,求解上式，得波函数：,薛定谔方程提出后，首先被用于求解氢原子，取得了巨大成功。,1. 主量子数 n，能量量子化，能级,能量是量子化的，主量子数 n 决定电子在原子中能量,当 n 时，En 连续值,二、几个重要结论,n = 1，E1 = -13.6 eV 基 态,n = 2，E2 = - 3.4 eV 激发态,n = 3，E3 = - 1.5 eV 激发态,E 0 时氢原子处于电离态,此时电子已脱离原子核的束缚。因此 13.6 eV 就是氢原子的电离能，外界提供这能量就能使氢原子电离。,Eh 为高能级值,当吸收光子时，氢原子从低能态跃迁到高能态；,当放出光子时，氢原子从高

11、能态跃迁到低能态。,El 为低能级值,玻尔的频率条件,当氢原子从基态跃迁到激发态时，所需能量称为激发能。其值为：,氢原子从高能级跃迁到低能级时，放出光子的频率为：,此式称为频率公式。,将氢原子能级公式代入，可得,氢原子光谱,氢原子发光的可能谱线的波数为,光谱线常用波数 (波长的倒数) 来表示， 它等于单位长度内波长的数目。,式中常数 R 称为里德伯常数，,计算值与实验值相符。,氢原子光谱系与能级图示如下：,莱曼系,巴尔末系,帕邢系,布喇开系,n,1,2,3,4,E (eV),0,-13.6,-3.39,-1.51,-0.85,例 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为 4340 。试求：

12、(1) 与这一谱线相应的光子能量为多少 eV？ (2) 该谱线是由能级 En 跃迁到能级 Ek 产生的，n 和 k 各为多少？(3) 最高能级为 E5 的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？并在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线？,解：(1),(2) 在巴耳末线系，其 k = 2。En Ek,该初始状态的主量子数为即,例 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能 (从基态到激发态所需的能量)为 DE=10.19eV 的状态时，发射出光子的波长是 l = 4860 ，试求该初始状态的能量和主量子数。 (普朗克常量 h = 6.6310-34Js，l eV=1.6010-19J

13、),解：所发射的光子能量为：,e = hc/l = 2.56 eV,氢原子在激发能为 10.19eV 的能级时，其能量 Ek 为：,Ek = E1 + DE = -13.6 +10.19 = -3.41 eV,氢原子在初始状态的能量 En 为：,e = En - Ek，En = e + Ek = 2.56 - 3.41 = -0.85 eV,当 n 给定， l 可有 n 个值， L 有 n 个不同的值。,若 n = 1，,l = 0，,L 有 1 个值。,n = 2，,l = 0，,符号： s p d f g h ,L1 = 0，,l = 1，,L1 = 0，,L 有 2 个值。,n = 3，

14、,l = 0，,l = 1，,L1 = 0，,L 有 3 个值。,l = 2，,电子绕核转动的角动量的大小：,2. 轨道量子数 l，角动量量子化,l 为副量子数或轨道量子数。,称 ml 为磁量子数。,当 l 给定， 在 z 方向取值可有 (2l +1) 种可能。这个结论称为角动量的空间量子化。,3. 磁量子数 ml，角动量在空间取向的量子化,例如：当 l = 2 时，,共有 2l +1 = 5 种。,ml = 0， 1， 2，,ml = 2,ml = 1,ml = 0,ml =-1,ml =-2,Lz=,由于电子带电，电子绕原子核作轨道运动， 就相当于一个闭合载流线圈一样。,其磁矩为 m =

15、iS i 电流强度 S 载流线圈面积,所以有,由于电子带负电，角动量与磁矩的矢量关系为,若角动量是空间量子化的，那么磁矩也是空间量子化的，它们在空间 z 方向的投影也是量子化的，应有,4. 电子在空间出现的概率分布,定态波函数,归一化条件：,对于基态， n = 1，l = 0，ml = 0，其定态波函数：,1995年用加速器“制成”了反氢原子，它是由一个反质子和围绕它运动的正电子组成。你认为它的光谱和氢原子的光谱会完全相同吗？为什么？,是的，完全相同。因为两种原子薛定谔方程的形式及其解得的能级公式完全相同。光谱由能级结构决定。反氢原子与氢原子这两个系统中组成粒子的质量完全相同，相互作用相同，由此得到的能级也就相同，所以光谱也相同。,3. 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为,(1) 将此