随机过程专用课件

1、,第四章 随机分析及均方微分方程,第一节 二阶矩过程,第二节 均方极限,第三节 均方连续性,第四节 均方导数,第五节 均方积分,第六节 均方黎曼司蒂吉斯积分,第七节 均方导数与均方积分的分布,第八节 均方微分方程,1,学习交流PPT,第一节 二阶矩过程,定义,则称为二阶矩过程,首页,2,学习交流PPT,例1,其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1）的随机变量，,解,由于 和V都服从正态分布，所以 也具有正态分布，,且,首页,3,学习交流PPT,性质,二阶矩过程的协方差函数一定存在,证,由许瓦兹不等式得,故,即二阶矩过程 的协方差函数存在,注,首页,4,学习交流PPT,说明,在讨论二阶矩

2、过程中，常假定均值为零，这样相关函数的形式和协方差函数的形式相同。,返回,首页,5,学习交流PPT,第二节 均方极限,一、均方收敛,定义1,设随机变量序列 ，n = 1,2,和随机变量X都存在二阶矩，,如果,则称 均方收敛于X，,或称X是 的均方极限,记作,或简记为,首页,6,学习交流PPT,二、均方收敛准则,定理1,柯西准则,则 均方收敛的充要条件为,证,只证必要性,因为 均方收敛于X，,所以有,首页,7,学习交流PPT,又由,所以,故,首页,8,学习交流PPT,注,等价,存在,其说明随机变量序列 均方收敛的充要条件是它的相关函数列按普通极限意义收敛。,三、均方收敛性质,性质1,若,则,证,

3、由许瓦兹不等式得,因,故得证,注,当 均方收敛于X时， 的期望收敛于X的期望,首页,9,学习交流PPT,性质2,若,则,证,由许瓦兹不等式得,因,故得证,首页,10,学习交流PPT,性质3,若,则对任意常数a、b都有,证,因为,故得证,首页,11,学习交流PPT,性质4,若,则,注,因,=,证,于是,即,返回,首页,12,学习交流PPT,第三节 均方连续性,均方收敛,定义1,即,则称 在点t均方连续。,一、均方连续,称 在 时均方收敛于,首页,13,学习交流PPT,二、均方连续准则,定理1,则,证,充分性,则,所以,首页,14,学习交流PPT,再证必要性,又,由均方收敛性质2得,定理2,证,由

4、定理1知，,首页,15,学习交流PPT,再由均方收敛性质2，得,即,首页,16,学习交流PPT,定理3,则,证,由均方连续定义,从而,说明,在均方连续的条件下，均值运算与极限运算的次序可以互换。但要注意，上式左边为普通函数的极限，而右边表示均方收敛意义下的极限。,首页,17,学习交流PPT,例1,试讨论其均方连续性。,解,泊松过程的均值、方差函数为,则相关函数,首页,18,学习交流PPT,同样,因此,由于,故,注,此例说明均方连续的随机过程，其样本曲线不一定是连续的。,返回,首页,19,学习交流PPT,第四节 均方导数,一、均方导数的定义,定义1,如果均方极限,存在,则称 在t处均方可微，,并

5、将此极限记作,即有,或,首页,20,学习交流PPT,二次均方可微,二阶均方导数,定义2,广义二次可微,存在,首页,21,学习交流PPT,二、均方可微准则,定理1,证,由均方收敛准则知,的充要条件是,存在,而,存在,首页,22,学习交流PPT,三、均方导数的性质,性质1,性质2,首页,23,学习交流PPT,性质3,性质4,证1,首页,24,学习交流PPT,其它类似可证,性质5,首页,25,学习交流PPT,四,1,证,注,均方导数 的均值等于均值函数的导数。 而 为普通意义下的确定性函数，故可用分析的方法求导。,首页,26,学习交流PPT,2.,证,首页,27,学习交流PPT,注,求偏导数得到。,

6、3,证明,首页,28,学习交流PPT,即,同理可得,又因,故,首页,29,学习交流PPT,注,随机过程 的相关函数求两次混合偏导数。,例1,证明,返回,首页,30,学习交流PPT,第五节 均方积分,一、均方黎曼可积,定义1,分割,作和式,如果,则称,并称,记作,即,首页,31,学习交流PPT,二、均方可积准则,定理1,即黎曼积分,存在,证,由均方收敛准则可知，,即,存在,首页,32,学习交流PPT,如果上式极限存在，其极限值就是黎曼积分,首页,33,学习交流PPT,定理2,证明,由定理1知，,三、均方积分的性质,性质1,首页,34,学习交流PPT,性质2,其中,性质3,首页,35,学习交流PP

7、T,性质4,性质5,（均方可积的唯一性）,四、均方积分的数字特征,1随机过程 积分的期望,首页,36,学习交流PPT,证,注1,注2,首页,37,学习交流PPT,2均方积分的方差及协方差函数,则,证,首页,38,学习交流PPT,注,同样可以证明,3均方积分的自相关函数及互相关函数,则,首页,39,学习交流PPT,证,只证明,其他类似可证,首页,40,学习交流PPT,例1,解,在定义中可取,则,所以,首页,41,学习交流PPT,例2,解,讨论维纳过程 的均方可积性。,且有,由于,对一切有穷的u存在，,首页,42,学习交流PPT,例3,解,设,所以,首页,43,学习交流PPT,同样可得,故得,返回

8、,首页,44,学习交流PPT,第六节 均方黎曼司蒂吉斯积分,一、定义,1、有界变差函数,对任意一组点,作和式,变差,如果对一切可能的分组点，变差所形成的数集 有界，,有界变差函数,首页,45,学习交流PPT,2、RiemanStieltjes积分,记,如果均方极限,存在并与分割和 的取法无关，,首页,46,学习交流PPT,则,均方黎曼司蒂吉斯积分,记为,二、 和 积分存在条件,定理1,首页,47,学习交流PPT,则 存在,则 存在,（1）,（2）,定理2,且有,注,反之也成立。,首页,48,学习交流PPT,定理3,三、期望与二阶矩,返回,首页,49,学习交流PPT,第七节 均方导数与均方积分的

9、分布,一、特征函数族,问题,如何利用随机过程的特征函数族，求出其均方导数及均方积分的特征函数族,定理1,其有穷维特征函数族为,（1）,若 的均方导数存在，,有,首页,50,学习交流PPT,（2）,有,其中,首页,51,学习交流PPT,二、正态过程的均方导数、积分的性质,性质1,即对每个i有,则X也是k维正态随机向量。,性质2,首页,52,学习交流PPT,性质3,则,也是正态过程,三、正态过程的均方导数、积分的特征函数,定理2,（1）,特征函数为,首页,53,学习交流PPT,（2）,则,返回,首页,54,学习交流PPT,第八节 均方微分方程,一、考察随机微分方程,其中 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。,1,微分方程在均方意义下的唯一解是,2,微分方程解的均值和相关函数,首页,55,学习交流PPT,（在 与 独立时 ）,的均值函数,的相关函数,当,注,有,此时有,首页,56,学习交流PPT,微分方程的解 的均值函数与相关函数完全由 与 的相关函数所决定。,注,二、考察一阶线性微分方程,其中 是普通的函数， 是二阶矩过程， 是二阶矩随机变量。,1方程的解,定理1,一阶线性微分方程的解为,首页,57,学习交流PPT,证,显然,其次，利用求导验证即可。,首页,