随机过程第六章课件

1、第六章：平稳随机过程,严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例,1,PPT学习交流,严平稳过程的定义,设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平稳过程。,严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。,2,PPT学习交流,宽平稳过程的定义,设X(

2、t),tT是随机过程，如果,1、X(t),tT是二阶矩过程；,2、对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；,3、对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t) 。,则称X(t),tT为广义平稳过程，简称为宽平稳过程,3,PPT学习交流,对于严平稳随机过程X(t)（以实过程为例）的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令=-t1，则 F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1) 因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。,若随机过程X(t)为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。,4,PPT学习交流,对于严平稳随机过程

3、X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令=-t1，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; ),严平稳过程+二阶矩过程=宽平稳；反之不成立。,5,PPT学习交流,例题1： 设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。,例题2： 设Xn，n=0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。,例题3： 设Xn，n= 1, 2, 是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量序列，Y

4、n，n= 1, 2, 是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机变量序列，且Xn 与Yn 相互独立， n= 1, 2, 。令,证明Zn，n= 1, 2, 是宽平稳过程，但不是严平稳过程。,6,PPT学习交流,联合平稳过程,设X(t),tT和Y(t),tT是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。,当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。,7,PPT学习交流,4、RX()是非负定的，即对任意实数t1,t2, ,tn及复数a1,a2, ,an，有,平稳过程自相关函数的性质,设x(t),tT为平稳过程，则其相关函

5、数具有下列性质：,5、若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX()=RX( +T)；,6、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当| |时，X(t)与X(t+ ) 相互独立，则,1、,2、,3、,8,PPT学习交流,联合平稳过程自相关函数的性质,9,PPT学习交流,收敛性概念,对于概率空间(,F,P)上的随机序列Xn每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满足,称二阶矩随机序列Xn(e)以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即,或称Xn(e)几乎处处收敛于X(e)，及作,称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量X(e

6、)，若对于任给0，有,记作,10,PPT学习交流,设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量X，若有,成立，则称Xn均方收敛于X，记作,称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量X，若Xn相应的分布函数列Fn(x)，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有,记作,11,PPT学习交流,定理6.3 设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，Cn为常数序列，a,b,c为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 有,12,PPT学习交流,定理6.4 设Xn为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：,定义6.6 设有二阶矩过程X(t),tT

7、，若对每一个tT，有,则称X(t)在t点均方连续，记作 若T中一切点都均方连续，则称Xt在T上均方连续。,定理6.5 二阶矩过程X(t)，tT在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。,13,PPT学习交流,均方导数,定义6.7 设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足,则称X(t)在t点均方可微，记作,14,PPT学习交流,二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作,定理6.6 二阶矩过程X(t),tT在t点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。,推论：数学期望运算与求导运算可以交

8、换顺序。,15,PPT学习交流,均方积分,定义6.8 设X(t),tT为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=a,b，设T的任一划分为 a=t0t1tn=b，记 做和式 如果当n0时，Sn均方收敛于S，即,则称f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，记作,16,PPT学习交流,定理6.7 f(t)X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为,存在。二阶矩过程X(t)在区间a,b上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在a,ba,b上可积。,17,PPT学习交流,定理6.8 设f(t)X(t)在区间a,b上均方可积，则有,定理6.9 设X(t),tT为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则 在均方

9、意义下存在，且随机过程Y(t), tT在区间a,b上均方可微，且有Y(t)=X(t)。,18,PPT学习交流,时间平均和集合平均概念,集合平均,mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。,时间平均,是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。,对于一个确定的样本,时间平均,集合平均,19,PPT学习交流,定义6.10 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若 以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。,定义6.11 如果均方连续的平稳过程X(t),tT的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。,20,PPT学习交流,定理6.10 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为,例题6.9： 随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为(0,2)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)遍历性。,21,PPT学习交流,定理6.11 设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历