高中数学 典型例题 直线与平面的垂直的判定和性质 新课标（通用）

1、典型示例一例1在下图中，满足唯一性的是()。A.通过直线外的一点画一条垂直于直线的直线B.在直线外的一点平行于直线的平面C.通过平面外的一点与平面平行的直线d，通过一点作为已知平面的垂直线分析：本主题研究空间线和直线之间的关系，准确理解定义是解决这个问题的关键。应该注意的是，空间垂直度不一定相关。解决方法：答：垂直于这条直线的直线是通过直线外的一个点形成的。由于没有强调相交，所以会有无数这样的垂直线。事实上，这无数条直线仍然在同一平面上，这是直线的一个垂直面。B.直线之外的一个点可以被做成一条并且只有一条直线平行于直线，但是无数的平面可以被做成平行于直线。C.作为平面中平行于平面的任何直线穿过

2、该点的平行线。因此，应该有无数条直线穿过一个平面外的点并平行于该平面。D.当通过一个点时，只有一个垂直于已知平面。假设有两条垂直于空间点和平面的直线。既然，是一条相贯线，我们就把平面设定和确定为，并且相贯线为，那么就一定有，而且因为，和都在平面上，有两条直线垂直于内通过点，并且只有一条直线与县城通过平面几何中的一个点。所以选择d。注：关于“唯一性”结论的问题通常用反证的方法来证明，或者借助于其他已证明的唯一性命题。在这本书里，只有一个垂直于已知平面，同时，只有一个垂直于已知直线。它们都是“唯一性”命题，在空间制图中经常使用。典型示例2示例2已知以下命题：(1)如果一条直线垂直于一个平面的对角线

3、，则该直线必须垂直于该对角线在该平面中的投影；(2)垂直于平面对角线的直线相互平行；(3)如果两条直线在平面外的投影相互垂直，则两条直线相互垂直；(4)如果两条线互相垂直，其中一条平行于一个平面，另一条是这个平面的对角线，那么这两条线在这个平面上的投影互相垂直。上述命题是正确的()。A.(1)、(2)b(2)、(3)c(3)、(4)d(2)、(4)分析：三个垂直定理及其逆定理的简单应用。应用这两个定理时，应特别注意“在平面上”的条件，同时应注意这两个定理在不同位置的基本图形和变体图形。解决方法：(1)已知直线不一定在平面上，所以不能用三条垂线的逆定理来判断垂直关系；(2)垂直于平面对角线的直线

4、必须垂直于对角线在平面中的投影，因此它们也是平行的；(3)根据三垂线定理，可以证明一条直线的投影垂直于另一条直线，但不能进一步解释直线垂直于直线；(4)根据空间中三条垂直线定理的逆定理和两条直线所成角度的概念，不难证明这个命题的正确性。所以选择d。注：(3)如果一条直线的投影垂直于另一条直线的投影，那么另一条直线必须垂直于这条直线的投影。例如，在立方体中，边和边上的点是边上的点，和、典型示例三示例3如图所示，在立方体中，中点是底面为正方形的中心。核实：飞机。分析：本课题研究直线与平面垂直度的判断方法。根据直线与平面垂直度的判断方法，要证明平面，只需要在平面上找到两条相交的直线和垂直度。证明：链

5、接、in 、*是和的中点，./面条，是平面投影。还有，.一样的注：为了证明线平面是垂直的，我们可以发现线平面是垂直的，这是立体几何中证明线平面是垂直的常用变换方法。在证明线平面是垂直的时候，要注意三垂直定理及其逆定理的应用，有时从量的关系方面去寻找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用。典型示例四例4如图所示，在中，平面和点的投影分别在和上，以证明：分析：本课题还考察了线平面垂直度的判定和性质定理，以及线平面垂直度和线平面垂直度相互转换的思想。为了证明，你可以证明这个平面，所以你需要证明它，然后它可以转化成一个证明平面，这是已知的，所以你只需要证明它。由于图中的线平面垂直度和线平面垂直度之间有很多关

6、系，本课题还可以利用三纵定理和逆定理来证明线平面垂直度。证据：面，平面，.，也就是说，-飞机。-飞机。.再一次的，嗯-飞机。-飞机，再一次的，嗯-飞机。-飞机。.另一个证明：飞机可以从上面证明。是平面上的投影。，.注：在证明上述问题的过程中，我们可以看到，证明直线是垂直的通常转化为证明直线是垂直的，反过来转化为证明直线是垂直的。立体几何中的证明往往是在相互转化的过程中实现的。如果这个问题换到下一个问题，考虑如何证明已知所在平面的直径为以及上的任意点典型示例五例5如图所示，它是平面的一条对角线，它是一个斜脚，在一个点上垂直于平面，并且是平面中的一条直线。验证：分析：本主题检查线和平面角度的定义和

7、计算。为了证明三个角的余弦值之间的关系，我们可以考虑构造一个直角三角形，计算出直角三角形中三个角的余弦值，然后用它来代替验证和证明，其中直角三角形的构造需要用到三垂线定理或逆定理。证明：通过一个点是垂直于该点和连接。，在飞机上投影为。时，.中有：中有：中有：它可以从、和获得。注意：从这个结论很容易知道，在这个平面上，斜线与平面形成的角度是斜线与直线形成的所有角度中最小的角度。如果斜线与平面形成的角度为0，则平面中斜线与其他直线形成的角度范围为0。典型示例六例6如图所示，已知正方形的边长为4，平面分别为中点。找出从点到平面的距离。分析：这个问题是1991年的一次高考，考查直线、直线和平面之间的位

8、置关系，以及逻辑推理和空间想象的能力。这个问题是求平面外的一点到平面的距离，这个距离可以用传递法转化为另一点到平面的距离。因此，有必要找到一条平行于平面的直线，因为在平行于平面的直线上，所有点到平面的距离都是相等的。证明：分别联系、给予、联系和做。是一个正方形，它是，是中点。，飞机，-飞机。离平面的距离就是点到平面的距离。,.*面条，.，-飞机。-飞机，.再一次的，嗯-飞机。也就是说，长度是从一个点到一个平面的距离。正方形的边长是4，,在中。在中。注：求点到平面的距离有三种常用方法：第一种是直接法，即从该点到平面的垂线，直接计算垂线段的长度。这种方法的关键在于准确地找到垂直脚的位置。例如，本主

9、题可以使用以下证明：将相交的延长线延伸到、连接、做、相交到、连接、再做，这样就可以得到平面，长度就是点到平面的距离。第二，传递方法，指向平面。典型示例七例7如图所示，直角有点偏离平面。(1)验证：该证明：(1)在等腰三角形中，它是中点，.取中点，连接，,.再次，脸，.平面(即平面中的两条相交线)。(2),.换一张脸。*脸。注：证明直线与平面垂直的关键在于发现一条直线垂直于平面上两条相交的直线。搜索的方式可以是从等腰三角形底部的中线到底部，从勾股定理到计算，从直线与平面的垂直度到直线的垂直度等等。典型示例八如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条则垂直于这个平面。已知：验证：分析：根据垂直线

10、和平面的判断定理，我们只需要找到两条相交的线和垂直线。证明：如图所示，画两条相交的线。,因此就有了。从图中可以看出这是两条相交的线。.注：本课题的结论可作为判断直线与平面垂直度的依据，即当待证明的直线与平面的垂直关系不明确或难以证明时，可考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直。典型示例九例9如图所示，已知平面平面=，是一个外点，位于，位于和位于。证明：分析：证明四点共面，然后证明平面，从而得出。证据：.这四个点是共面的。,再次，飞机。.注意：就像平行线和平行线的交替使用一样，垂直线和垂直线往往是相互的条件和结论，也就是说，要证明线是垂直的，首先要寻找线是垂直的；要证明直线是垂直的，首先要找到垂

11、直的直线平面。这个题目证明“，和四个点是共面的”是非常重要的。如果仅仅通过飞机来判断，它将被证明是无效的。典型示例十例10:平面上有一个半圆，其直径在平面上方。取半圆中的任意一点，连接，和，分别是投影。(1)验证：(2)在这个图中有多少条直线和平面是互相垂直的？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这张图上有多少对垂直线？分析：注意运用线与线、线与平面垂直的相关知识进行判断。(1)证明：如上图所示，*是已知圆的直径，.*飞机，.飞机。*飞机。*在飞机上。在，并且是平面上的投影，.解答(2):从(1)可知，平面，平面，平面。*还有，飞机，图中直线和平面之间有四种垂直关系。(3)平面是直角三角

12、形。*平面，是直角三角形。平面、都是直角三角形。*平面、是直角三角形。总而言之，图中有11个直角三角形。(4)从飞机上、从飞机上、从飞机上、从飞机上、总而言之，有11对互相垂直的直线。注：为保证(2)、(3)、(4)的答案正确，应先找到(2)的答案，从“线-面内线”中可得到“线-面内线”，当“线-面内线”相交时，可得到直角三角形；当“面上线”不相交时，可以得到一对不同平面和垂线的直线。典型示例11例11如图所示，在平面上，它是一条对角线。找到与平面的角度。分析：要找到与平面的角度，关键是确定投影在平面上的位置。因此，我们可以考虑通过构造一个直角三角形和全等三角形来确定位置，而要构造一个直角三角

13、形，我们需要三条垂直线的理论。解决方案：如图所示，它与过度链接。它是平面上的投影，与平面成一个角度。，这可以通过三线定理得到。使，同样的理由也可以获得。由、能得到，.分别在投影内部，.所以这个点在。再次设定，.在，也就是说，与是的角度。描述：(1)在获得平面上投影的平分线之后，可以通过公式计算与平面的角度。在这个时候。(2)从平面上投影的平分线可以推导出以下结论：如果在四面体中，平面上的点是投影的内部。典型示例12例12如图所示，平面上有点，斜线，斜线与平面形成的角度相等，设定点与平面的距离为，计算点与直线的距离。分析：将垂直线从点到平面，检查垂直脚的位置，连接，推和得到，然后，所以，和是矩形

14、的四个顶点。解决方法：做平面，立脚为，连接，,从逆定理中得出的三个垂直定理，有：此外，是一个长方形。是一个正方形。，垂直和平等地相互划分。设置为、链接、根据三条垂直线的定理，如果有，那就是到的距离。在、.因此，点到点的距离是。注意：从这个例子中，我们可以得到点到直线的距离：(1)如果一个点或一条直线在某个平面上，可以从该点直接引出一条垂直线到该直线，并且该点和垂直脚之间的距离是所需要的。(2)如果该点在直线所在的平面之外，可以用三垂线定理来确定：如果垂足指向平面，垂足指向斜足，那么该点与斜足之间的距离就是该点到直线的距离。(3)处理距离问题的基本步骤是：制作、验证和计算，即制作一条满足要求的辅

15、助线，然后证明距离满足定义，再通过求解直角三角形进行计算。典型示例13例13如图所示，它是一个垂直于平面的正方形，与其相交和垂直的平面分别在、点相交。分析：本课题研究线平面垂直度的判定和性质定理，以及线平面垂直度和线平面垂直度相互转换的思想。由于图形的对称性，两个结论中只有一个需要证明。为了证明它，你可以证明平面，所以你必须证明它，然后变换和证明平面和平面。证据：飞机，飞机，.是一个正方形，.-飞机。-飞机，.和/或飞机，.-飞机。和/或飞机，同样的理由可以证明。注释：(1)证明直线是垂直的常用方法有：直线是垂直的，直线在同一平面上是垂直的性质定理，三重垂直定理及其逆定理，两条平行线中的一条是

16、垂直的。(2)在证明本课题的过程中，“线是垂直的”和“线是垂直的”之间的相互关系被反复交替使用，充分体现了数学思想的优越性。典型示例14例14如图所示，证明了如果一个角的平面外的一个点与该角的两边之间的距离相等，那么该点在该平面上的投影就在该角的平分线上。众所周知，在平面上，点、和垂直脚分别是、验证：证据：包括在内的预测.,.同样的理由可以证明：又来了，.注意：这是一个典型的话题。与本主题类似，有以下命题：如果一个角的平面上的斜光线是从该角的顶点引入的，使得斜光线与该角的两侧之间的夹角相等，那么斜光线在该平面上的投影就是该角的平分线的直线。从这个结论和前面的例子，很容易解决下面的问题：它是已知的，它是一个平面外的点，并且与平面的角度是得到的。典型示例15情况15:对还是错：在括号中正确标记“”，错误标记“”。(1)如果一条直线平行于一个平面，它将平行于这个平面上的任何直线。()(2)如果一条直线垂直于一个平面上的无数条直线，那么这条直线就是垂直于这个平面的。()(3)垂直于三角形两边的直线必须垂直于第三