高中数学 典型例题 直线的倾斜角和斜率 新课标（通用）

1、典型示例一例1:求出通过两点a (2，1)和B(m，2)(mR)的直线的斜率，并求出其倾角和取值范围。分析：斜率公式成立，所以我们应该首先讨论m的值是否等于2。解决方案：当m=2时，直线垂直于轴线，所以它的斜率不存在。此时，倾角为=。当m2，k=当m 2， 0=反正切(0，)。当m 2，0=反正切(，)。注：通过讨论确定直线斜率的有无是解决直线斜率问题的常用方法。典型示例2示例2已知两点a (-3，4)，b (3，2)，穿过点p (2，1)的直线l和线段AB具有公共点。(1)求直线l的斜率范围(2)求直线l的倾斜角范围.图1分析：如图1所示，为了使直线L和线段AB有一个公共点，直线L的倾角应该

2、在直线PB的倾角和直线PA的倾角之间，所以当直线L的倾角小于90时，有一个公共点；当倾角大于90时，存在。解决方案：如图1所示，有分析=-1，=3。-(1)或。(2)arctan3。注意：学生经常错误地写- 1k3，因为它与倾斜角没有区别，或者错误地认为正切函数是单调增加的。典型示例三例3判断下列命题是否正确：(1)直线l必须是线性函数的图像；一阶函数的图像必须是不经过原点的直线；(3)如果一条直线上所有点的坐标都是一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；如果以二元线性方程的解为坐标的点都在一条直线上，那么这条直线称为该方程的直线。解决方法：不正确。直线不是线性函数；不正确。那时，直线通

3、过了原点。不正确。第一和第三象限角平分线上的所有点都是方程的解，但是这个方程不是第一和第三象限角平分线的方程不正确。以等式()的解作为坐标的点都在第一象限的平分线上，但是这条线不是等式()的图像。注：线性方程概念中的两个条件是必不可少的，它们共同构成了一个充分必要条件。典型示例四例4:假设直线的斜率为k，指出直线倾斜角的范围。分析：倾角与坡度有关。根据公式和正切函数的单调性，从斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以用来绘图和帮助解决数形结合的问题。解决方案：众所周知。嘿。直线的倾角范围是。注意：注意范围内正切函数的单调性，最好和图形结合，不容易出错。典型示例五例5:两点a (-1，-5)和B(3

4、，-2)是已知的，直线l的倾角是直线倾角的一半，所以求直线l的斜率.解决方案1:如果直线的倾角为0，则直线的倾角为2tan2=，=.简化的结果是3tan28tan-3=0。解决方案是tan=或tan=-3。tan2=0， 0290，045，谭 0，所以直线的斜率是。解决方案2:(思考要点)根据tan2=，2是锐角，可用sin2=和cos2=，此外，tan=。=。注：这里应考虑角度范围和函数值的选择。解2更容易计算。典型示例六例6众所周知，a、b和m都是正数，并用解析法证明：图2证据：如图2所示，在坐标平面上，取点A(m，m)，B(a，B)，AB的中点是c(，)。显然，OA、OB和OC的斜率满足

5、,再次，1。所以。注：本课题与以前的不等式证明密切相关，这里提供了一个新颖的证明，有助于学生理解分析方法。同时，这个话题是一个建设性的证明，这是不容易想到的。事实上，将分数视为斜率是一种常见的方法。典型示例七例7:让一条直线穿过原点，它的倾角是。如果通过旋转45度获得直线分析：倾斜角的范围，因此，只有当，立即，倾斜角是。并且，在必须讨论的情况下，结合图形和倾角的概念，可以得到倾角。因此，d .回答：d注：计算直线的倾角时，应注意：(1)注意角度的取值范围；(2)数形结合是一种常用而有效的方法。典型示例八示例8如果三个点共线，则获得该值。分析：如果三个点共线，则由任意两点确定的直线斜率相等或不存

6、在。回答：那么，共线三点。，解决了。注：由三点共线性计算参数的方法有很多，如两点间距离公式、固定比例坐标公式、面积公式等。但斜率公式是最简单的。典型示例九例9 (1)通过点和点的直线的斜率和倾角；(2)如果一条直线穿过两点，则计算该直线的倾角。(3)倾斜角和斜率是通过知道通过点的直线的和而获得的。分析：(1)直线上两点之和是已知的，所以是确定的，它的斜率和倾角是自然确定的，可以直接用斜率公式求解；(2)在(2)中的直线上的点是已知的，并且这些点的水平和垂直坐标与角度有关，因此应注意条件的取值范围。(3)在(3)中的直线上的点是已知的，但是该点的横坐标是不确定的，其值将影响直线的斜率和倾斜角。应该进行课堂讨论，分类标准应该是直线的斜率是否存在。解决方案应基于倾角和坡度的概念。解决方法：让直线的斜率为，倾斜角为。(1)直线穿过点和点，是它的斜坡。所以。,倾角，那就是：(2)因为，所以。所以斜率：因为所以。因此，直线的倾角为。(3)当时，直线垂直于轴线，因此倾角没有斜率。那时，坡特。如果是，那么；如果，那么。因此，在那个时候，直线没有斜率。当时当时注：从坡度计算倾角时，注意倾角的取值范围。当倾角不是一个特殊的角度，必须用反正切表示时，要注意。(1)当直线的倾角为时，斜率为。相反，当直线的斜率为时，直线的倾斜角不一定是。(2)使用公