高中数学 典型例题 等比数列 新课标（通用）

1、等比数列如果sn是数列的前n项，并且Sn=pn(pR，nN* )，则sn等于数列。a .等比数列b.p0时为等比数列c.p0，p1时为等比数列d .不是等比数列情分析为Sn=pn(nN* )，a1=S1=p，在n2的情况下an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1但是，因为不存在满足该条件的实数p，所以本问题应该选择d用an0(nN* )说明数列an的等比数列所需的条件，再加上留心求出知道关等比数列字1、x1、x2、x2n、2的x1x2x3x2n。解1，x1，x2，x2n，2成等比数列，公比q2=1q2n 1x1x2x3x2n=qq2q3q2n=q1 2 3 2n求得式(a3a4

2、a5=8)的a2a3a4a5a6的值。a4=2已知b0，b0且ab，在a、b之间插入n个正整数x1、x2、xn，并求出a、x1、x2、xn、b成为关等比数列字设由n 2个组成的数列的公比为q，证明了b=aqn 1a、b、c、d为等比数列，求出(b-c)2 (c-a)2 (d-b)2=(a-d)2)。证据法1-a、b、c、d是等比数列b2=ac，c2=bd，ad=bc左边=b2-2bc c2 c2-2ac a2 d2-2bd b2=2(b2-ac) 2(c2-bd) (a2-2bc d2)=a2-2ad d2=(a-d)2=右已证明证据法二- a、b、c、d是等比数列，设其公比为q，则如下b=a

3、q，c=aq2，d=aq3左边=(aq-aq2)2 (aq2-a)2 (aq3-aq)2=a2-2a2q3 a2q6=(a-aq3)2=(a-d)2=右已证明这是综合了等比数列和代数式恒等变形的主题。 证明法1是抓住求证式右边没有b、c的特征，利用等比的条件消除左边式的b、c的路径。 证明法2是将a、b、c、d统一化为等比数列的基本要素a、q而解决的。 证明法2虽然有点麻烦，但是统一其中使用的基本要素的方法比证明法1的方法更具普遍性图6是求出数列的通项式的图。(1)在1)an中，a1=2，an 1=3an 2(2)在2)an中，a1=2、a2=5且an 2-3an 1 2an=0构思：转化为等

4、比数列1是等比数列an 1=33n-18756； an=3n-1an1- an是等比数列，即an 1-an=(a2-a1)2n-1=32n-1另外，关注a2-a1=3、a3-a2=321、a4-a3=322、an-an-1=32n-2时，能够将这些个的式子相加而得到解释解题的关键是发现等比数列，即化疏远是众所周知的，在(1)中an 1是等比数列，在(2)中an 1-an是等比数列，这也是一般所说的化归思想的一种证明a1、a2、a3、a4都是非零实数上述方程式的判别式0，即另外，a1、a2、a3是实数因此，a1、a2、a3为等比数列a4是等比数列a1、a2、a3的公比当a、b、c为等差数列、且a

5、 1、b、c和a、b、c 2为等比数列时，求出b值.假定解a、b和c分别是b-d、b和b-d，则已知的b-d 1、b、b-d和b-d、b和b-d 2是关等比数列字整理b d=2b-2d即b=3d代入9d2=(3d-d 1)(3d d )9d2=(2d 1)4d求解变为d=4或d=0(截除)b=12已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都为d，另外，已知d1，为a4=b4，a10=b10 :(1)求出a 1和d的值(2)b16是否为an项？思维方法：使用通项式的列方程式b 16=b1d 15=-32 b 1如果b16=-32b1=-32a1、b16是an的第k项-32a1=a1 (k-1)d

6、(k-1)d=-33a1=33dk=34即b16是an的第34项如果将等差数列an的公差设为d，则为an=a1 (n-1)d要解这个方程式a1=-1，d=2或a1=3，d=-2在a1=-1，d=2时，an=a1 (n-1)d=2n-3在a1=3、d=2时，an=a1 (n-1)d=5-2n三个个数成为等比数列，将第二个数加上4则成为等差数列，进而将该等差数列第三项加上32则成为等比数列，求出这三个个数.解法为每个等比数列设置三个个数，将元数列设为a、aq、aq2已知a、aq 4和aq2是等差数列即，2(aq 4)=a aq2a、aq 4、aq2 32成等比数列即，(aq 4)2=a(aq2 3

7、2 )解法2等差数列设置3个个数，原数列为b-d、b-4、b-d已知：三个数为等比数列即，(b-4)2=(b-d)(b d )b-d、b、b d 32成等比数列b2=(b-d)(b d 32 )解法3任意设置三个未知数，设原数列为a1、a2、a3已知： a1、a2、a3的等比数列a1、a2 4、a3为等差数列得到：2(a2 4)=a1 a3 其中a1、a2 4和a 3是等比数列得到： (a2 4)2=a1(a3 32)将说明3个等差数列的数为a-d、a、a d的三个分割极简化计算过程的作用例12中，有求上位3个为等差数列、下位3个为等比数列、且第1个数和第4个数之和为16、第2个数和第3个数之

8、和为12、这些个的4个的4个个数.分析本问题有三种设定未知数的方法方法：设前三个个数为a-d、a、a d，第四个个数为已知条设方法2定径套之后的三个个数为b、bq、bq2，则根据已知条件估计最初几个是2b-bq方法第31个数和第2个数分别设为x、y时，第3个、第4个数依次为12-y、16-x .根据这三个方法，利用馀下的条件矩阵方程，求解相关的未知数，从而能够求解所求得的4个个数求出4个个数是0、4、8、16或者15、9、3、1 .解法2定径套后的3个个数为b、bq、bq2，第一个个数为2b-bq求出4个个数是0、4、8、16或者15、9、3、1 .解法将4个个数依次设为x、y、12-y、16

9、-x .这四个数量是0、4、8、16或15、9、3、1。已知有3个等差数列，其和为126的其他3个个数为等比数列，将2个数列的对应项依次相加，分别得到85、76、84 .已知对等差数列设定解的3个个数是b-d、b、b-d，b-d b b d=126b=42这三个个数可以写成42-d、42、42-d将另外三个个数设为a、aq、aq2。 从问题中设定，得到要解这个方程式a1=17或a2=68在a=17的情况下，q=2，d=-26其结果，等比数列3个个数为17、34、68，在此情况下，等比数列的3个个数为68、42、16或者等比的3个个数为68、34、17，此时等差的3个个数为17、42、67 .在

10、数列an中，已知a1、a2、a3为等差数列，a2、a3、a4为等比数列，a3、a4、a5倒数为等差数列，证明a1、a3、a5为等比数列.证明是已知的2a2=a1 a3 即，a3(a3 a5)=a5(a1 a3)所以a1、a3、a5成为等比数列已知(b-c )日志MX (c-a )日志my (a-b )日志mz=0。(1)a、b、c依次为等差数列，公差为非零，求证明： x、y、z为等比数列(2)设正数x、y、z依次为等比数列，且公比不是1，求证明： a、b、c为等差数列。证明(1)a、b、c为等差数列，公差d0b-c=a-b=-d，c-a=2d如果代入已知的条件，则-d(logmx-2logmy logmz)=0日志MX日志mz=2日志myy2=