【第一方案】高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明第七节 数学归纳法(理)练习

1、第七节数学归纳法一、选择题(65分=30分)1.(2011怀化仿真)命题“n为正奇数时xn yn可以被x y除尽”用数学归纳法证明，在第2阶段正确的证明法是()假设n=k(kN* )，证明n=k 1命题成立假设n=k(k为正奇数)，证明n=k 1命题成立假设n=2k 1(kN* )，证明n=k 1命题成立假设n=k(k为正奇数)，证明n=k 2命题成立分析：在a、b、c中，k 1不一定表示奇数，在d中仅k是奇数，k 2是奇数。回答： d2 .在(2011鹤壁仿真)数学归纳法中，在证明了“11 1”的情况下，n=k(k1 )的不等式成立，在证明了n=k 1的情况下，左边应增加的项目数是()A.2

2、k-1 B.2k-1战斗机C.2k D.2k 1战斗机分析：增加的项目数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k回答： c3.(2011巢湖联合试验)对于不等式1，n=2时，左边式等于()甲级联赛c.1d.1分析： n=2时，左边的公式为一=一。回答： d6 .已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2 )通过以a1=1计算a2、a3、a4，得到an=()甲乙PS分析： Sn=n2an，Sn 1=(n 1)2an 1Sn 1-Sn=(n 1)2an 1-n2anan 1=(n 1)2an 1-n2an、8756； an 1=an(n2 )在n=2的情况下，S2=4a2和S2=a1

3、 a2a2=、a3=a2=、a4=a3=a1=1，a2=，a3=，a4=，an=回答： b二、填空问题(35分=15分)7 .在数列中，a1=且Sn=n(2n-1)an通过计算a2、a3、a4而推定为an的式子是分析： a1=且Sn=n(2n-1)ana1 a2=2(22-1)a2，a2=另外，a1 a2 a3=3(23-1)a3a3=此外，a1 a2 a3 a4=4(24-1)a4a4=.预期： an=答案： an=8.(2011绍兴月考)用数学归纳法证明的111)，第一步要证明的不等式是分析： n=2时，左边=1=1，右边=2答案： 129.(2011东莞调查)已知的整数对的排列如下： (

4、1，1 )、(1，2 )、(2，1 )、(1，3 )、(2，2 )、(3，1 )、(1，4 )、(2，3 )、(3，2 )、(4，1 )、(1，5 )、(2，4 )、第60个数对为解析：正题规则：2=1 1 3=1 2=2 1；4=1 3=2 2=3 1；5=1 4=2 3=3 2=4 1；一个整数n具有的数是(n-1 )对。123. (n-1 )=60，8756； 设=60当n=11时，5对数更多，而且这5对数的和都是1212=1 11=2 10=3 9=4 8=5 7第六十个数对是(5，7 )。回答： (五、七)三、解答问题(共计37分)10.(12点)用数学归纳法证明以下方程式12-22

5、 32-42 (-1)n-1n2=(-1)n-1证明： (1)n=1时，左边=12=1右边=(-1)0=1原方程式成立假定(n=k(kN*，k1 )，等式成立，即12-22 32-42 (-1)k-1k2=(-1)k-1那么，在n=k 1的情况下12-22 32-42 (-1)k-1k2 (-1)k(k 1)2=(-1)k-1 (-1)k(k 1)2=(-1)k-k 2(k 1)=(-1)k在n=k 1的情况下，公式也成立从(1)(2)中得到的任意nN*中12-22 32-42 (-1)n-1n2=(-1)n-111.(12分) (2011东北六校连考)设数列an的前n项之和为Sn，方程式x2

6、-anx-an=0为Sn-1，n=1，2，3，(1)求出a 1、a2(2)推测数列Sn的通项式，提出严格的证明分析： (1)在1)n=1的情况下，x2-a1x-a1=0是S1-1=a1-1于是，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=。在n=2的情况下，x2-a2x-a2=0表示S2-1=a2-、于是，(a2-)2-a2(a2-)-a2=0，a2=。从(2)问题来看(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0Sn2-2Sn 1-anSn=0。在n2的情况下，an=Sn-Sn-1代入上式，得到Sn-1Sn-2Sn 1=0.从(1)得到的S1=a1=、S2=a1 a2=由推测S3=.由此推

7、测Sn=、n=1、2、3。用数学归纳法证明这个结论()当)n=1时，已知结论成立因为假设(ii)n=k(kn*，k1 )，假设Sk=，n=k 1，则Sk 1=，Sk 1=，所以假设n=k 1，则结论也成立。由以上可知，根据(I )、(ii )，Sn=对于所有正整数n成立.(13分钟) (2011温州模拟)已知的f(x)=，nN*与f ()的大小进行比较，说明理由解析： f()=1-，一方=1-、和f ()的大小等于2n和n2的大小在n=1的情况下为2112； 在n=2的情况下，22=22；在n=3的情况下为2332； 在n=4的情况下，24=42；在n=5的情况下为2552。在n5时，预计为2nn2.以下用数学归纳法证明当n=5时，由上可知不等式成立假设n=k(k5，kN* )，当不等式成立，即2kk2，n=k 1时，k2k 1=22k