二次函数与一元二次方程.ppt

1、,二次函数与一元二次方程,(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,二次函数与一元二次方程,二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.,y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点

2、的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,一、探究,探究1、求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。,解：A、B在轴上， 它们的纵坐标为0， 令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）,你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？,x2-3x+2=0,点燃智慧的火花,结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次

3、方程是有密切联系的。,即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）,x1，0,x2，0,x,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,探究2、抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？,0,=0,0,O,X,Y,结论2：,抛物线y=ax2+bx+c,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：,1、0 一元二次方程ax2+bx+c=0

4、有两个不等的实数根,与x轴有两个交点相交。,抛物线y=ax2+bx+c,2、=0 一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根,与x轴有唯一公共点相切（顶点）。,抛物线y=ax2+bx+c,3、0 一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根,与x轴没有公共点相离。,二、基础训练,1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；,3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。,2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。,评:若抛物线y=ax2+bx+c与

5、轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），利用根与系数的关系，求证：A、B两点间的距离 AB=,4、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。 （1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8 （3）y=x2-4x+4,5. 已知抛物线 ,求抛物线与y轴的交点坐标;求抛物线与x轴的两个交点间的距离.,6、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象全部在轴下方的条件是（ ） （A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0 （C）a0 b2-4ac0 (D）a0 b2-4ac0,D,7已知二次函数-ax2，下列说法不正确的是（） 当,时,总取负值

6、 当,时,随的增大而减小 当时，函数图象有最低点，即有最小值 当， -ax2的对称轴是轴,D,三、例题精讲,1、已知抛物线y=x2+2x+m+1。 （1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。 （2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点， 求m的值。,提示：（1）44（m1）0 注：本题也可问当此抛物线顶点在x轴上时，求m的值。 （2）即方程x2+2x+m+1=x+2m的根只有一个。,2、已知抛物线y=-x2+2（m+1）x+m+3与x轴有两个交点A、B，其中A在x轴的正半轴，B在x轴的负半轴， 1）若OA=3OB，求m的值。 2）若3（OA-OB）=2OAOB，求m的值。,例题精讲,学以致

7、用右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）1、求抛物线 的解析式2、求两盏景观灯之间的水平距离,A,B,C,D,4,学以致用,已知二次函数y=x2-kx-2+k. (1)求证:不论k取何值时，这个二次函数 y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。 (2)k为何值时,二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点A、B之间的距离最小？ （3）设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求SABC .,四、小结,1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ） 2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。,3、A、B两点间的距离AB= 。,4、二次函数y