高中数学 《数学归纳法》教案 新人教A版选修4-5（通用）

1、数学归纳法教育目标1、理解归纳法的意义，培养学生的观察、归纳、发现能力2 .了解数学归纳法的原理，以递归思想指导，了解数学归纳法的操作步骤3 .抽象思维和概括能力进一步提高教育的重点和难点重点：认识归纳法的意义和分析数学归纳法的产生过程难点：理解数学归纳法中的递归思想教育过程设计(1)引进老师：从今天开始学习数学归纳法。 应该从了解什么是数学归纳法，什么是归纳法开始(板书课题：数学归纳法)(2)什么是归纳法？师：看下面几个问题，考虑一下归纳法是什么，归纳法有什么特征问1 :这里有12个球。 判断这个球是白球还是黑球。 怎么办才好呢？(可以准备一袋白球、试题用黑板、心理投射幻灯片)生：请把那个拿

2、出来看看老师：方法是对的，但操作缺乏顺序性。 顺序操作怎么办生：请一个人一个人地拿来，一个人地拿来老师：是的。 问题的结果是什么呢(演示操作步骤)从第一个白球、第二个白球、第三个白球、第十二个白球可以看出，这个袋子里的球都是白球。a2，a3，a4。 的值估计项an的公式(问题由小黑板或心理投射幻灯片给出)。老师：同学们用归纳法来解决这些个的两个问题。 归纳法是什么，归纳法有什么特点吗？生：归纳法是从几个特殊事例中推导出一般结论的推论方法特点是特殊一般(板书)老师：好啊，其实在初中数学里，归纳法早就接触了。 例如，给出数列的前四项，求其的一个通项式是归纳法，等差数列、等比数列通项式也是归纳法，今

3、后的学习中也可以看到归纳法的运用。生活和生产实际上，归纳法也得到了广泛应用。 例如，气象知情人员、水文知情人员基于积累的历史资料进行气象预测，水文预报采用归纳法问题1和问题2运用的归纳法也应该指出，在问题1中，一共看了12个球得出了结论.将这样的研究对象一个一个调查得出结论的归纳法称为完全归纳法.在问题2中，因为自然数是无数，所以不可能用完全归纳法得出结论，这是前4个(3)归纳法的认识(板书)归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法(板书)老师：既然用不完全归纳法来推测，推测需要一点勇气，请拿出勇气来研究问题3问题3 :对于任意自然数n，比较7n-3和6(7n 9)的大小.(给学生一定的计算思考时间

4、)生：经过计算，我的结论是任意的n-n，7n-36(7n 9)师：你数了几个得出结论了？生：四个人师：是计算n=1、n=2、n=3、n=4这4个数而得到的结论生：是的老师：有不同的意见吗？学生：我经历了n=8。 此时，不是7n-36(7n 9)。 他的结论错了呢老师：那么，你的结论是什么？动员大家思考，纠正生：我的结论是在n=1、2、3、4、5的情况下，7n-36(7n 9)。老师：从以上研究过程来看，我们应该总结什么样的经验呢？首先要充分占有正确的材料，随意数数就是要不得。 请把你们的计算结果填写在下表中老师：根据数据进行猜测，决不是胡说八道。 必须慎重地分析数据。 如从上面的表可以看到的，

5、随着n变化，1，2，3，4，对应的7n-3值的次数以前面的7倍的速度增加，而6(7n 9)中的对应值的增加速率还没有加倍。 当n取较大的值时，完全确认了7n-36(7n 9)成立的理由。老师：推测错了问题3的同学，不必过分责备自各儿，接受教训就行了。 其实在数学史上，世界上有些数学达人在使用归纳法时也有错误资料1 (事前准备，学生阅读)费马(Fermat )是法国17世纪著名数学家，解析几何学的发明者之一，为创办微积分贡献最大的人之一，概率论奠基者之一，他也为数学论做出了很多贡献。然而，费马认为当n-n时22n 1一定是素数。 这是对n=0、1、2、3和4进行验证的结果18世纪伟大的瑞士科学家

6、欧拉证明了225 1=4 294 967 297=6 700 417641，否定了费马的推测师：一位同学说费马为什么不再数一个了。今天我们不能回答。 但是，我想告诉同学们失误的关键不是再多计算一下让我们看看数学史上的另一些资料资料2在f(n)=n2 n 41、n-n时，f(n )全部是素数吗？f(0)=41，f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61f(5)=71，f(6)=83，f(7)=97，f(8)=113，f(9)=131f(10)=151， f(39)=1 601。其中，f(40)=1 681=412是合计数师：数了39的话可能不少，还不行我们来介绍一下这些个的两

7、个资料，与其说是世界性的妈妈星空卫视错误，不如说我们有错误就可以原谅，与其说归纳法不行，不如说学习了要不得，不如说使用归纳法来看错误的原因师：为什么归纳法错了？生：完全归纳法没错老师：是啊。但是，使用不完全归纳法是免不得。 为什么错了生：采用不完全归纳法时，从一般结论得出有推测的成分老师：我完全同意。 那么是怎么破吗生：应该证明老师：大家同意吗？对于生活、生产中的实际问题，所得出的结论的正确性，必须通过实践的验证。 因为实践是检验真理的唯一标准。 对于数学题，要求数学的证明(4)总结和证明(板书)老师：怎么证明呢？请结合以上问题1考虑学生：问题1共有12球，我看到了。 那个精准性没有必要证明老

8、师：换个角度，可以证明12个球，一个一个看实验，一个看实验。 在数学上，这种证明法叫穷举法。 这体现了分类讨论的思想。老师：如果这里不是12球，而是无数球，用不完全归纳法得到的话，为什么要证明这个袋子里的球都是白球呢？(稍微商量一下，让学生集中注意力)师：证明这样的问题不容易，在数学史上也有多年的经验。 最初正式研究这个课题的是意大利的科学家壁虎科。 他用递归的思想证明了。加上问题1，他首先确认出的是白球然后建构另一个命题来证明。 命题的条件是“某个时候得出的是白球”，结论是“接下来得出的也是白球”。这个命题不是孤立地研究“某一次”，不是研究“下一次”是否是白球，而是研究保证某一次是白球这一条

9、件下一次也是白球这一逻辑必然性。看看这两个证明是否解决了问题生：好的。 确认第一次提出的是白球，重复使用上述构造的命题的话，第2次、第3次、第4次提出的是白球师：是的。 它用一个一个的推论思想证明了一个不可验证的命题。在生活上，表现这种递归思想的例子也不少。 举个例子怎么样？生：排放量接近的自行车，一倒车就倒成一排生：如多米诺骨牌男同性恋(可以有条件地定径套该男同性恋的网络视频)师：要使多米诺牌男同性恋成功，必须依靠以下两个多米诺骨牌的排列，保证前面的卡倒下后的卡也一定倒下(2)第一张卡被推倒用这种思想设计的推测不完全归纳法所得命题正确性的证明方法是数学归纳法(5)数学归纳法(板书)师：用数学

10、归纳法证明上述问题2推测的命题，应该证明什么呢？生：在先证n=1时，公式成立(第一步骤)如果某自然数(n=k )的式子成立，则再次证明下一自然数(n=k 1)的式子也成立(步骤2 ) .师：这两步证明是用自各儿进行的吗？首先请证明第一步(必须追问每一步的计算推论的依据)老师：证明下一步。 明确要证明什么吗？师：这两步证明了命题。 这是用数学归纳法证明的基本要求师：请总结一下用数学归纳法证明的基本步骤学生：共计两步(学生说，是人民教师板书):(1)在1)n=1的情况下，命题成立(2)n=k时命题成立，n=k 1时命题也成立。人民教师：实际上，第一个步骤通常是证明开头者的命题成立.例如，关于问题3

11、推测的命题： n=6，7，8，7n-36(7n 9) .(有时间，可以讨论这个不等关系证明的第二步，没有时间，可以在学生的课堂上思考)。(6)总结老师：我们来总结一下这门课的内容吧(1)本节的中心内容是归纳法和数学归纳法(2)归纳法是从特殊到一般的推论方法。分为完全归纳法和不完全归纳法。(3)由于不完全归纳法得出的结论可能不正确，所以必须证明用数学归纳法进行(4)数学归纳法作为证明方法，其基本思想是递归思想，其操作步骤必须两步数学归纳法广泛应用于数学，从下节课开始学习课外作业(1)阅读教科书P112P115的内容(2)书面作业p15练习： 1、3教学设计说明1 .数学归纳法是证明关于自然数n命

12、题正确性的证明方法。 其操作程序简单明确，教学重点应是方法的应用。 但是，不能把教学过程当作方法的教学、技能的训练。 简单地教授方法，学生一定会有疑问。 为什么非两步不可呢？于是，人民教师重复着例子，说明两步不可或缺。 为什么知道n=k命题成立，人民教师必须说明，但学生还没有完全接受。 学数学归纳法的学生有时应该用，但是有想不起来的问题。 因此，设想强化数学归纳法发生过程的教育，将数学归纳法的发生寓居归纳法的分析、认识中，结合数学归纳法的发生和不完全归纳法的完善。 由此，学生不仅可以看到数学归纳法发生的背景，而且从一开始就注意其功能，为使用它奠定良好的基础，加强思想整合教育，不仅是中学数学中以

13、演绎思想为中心的教育的重要补充，也是让学生发展创新能力的机会。基于数学归纳法的过程可分为两个阶段，第一阶段从对归纳法的认识到对不完全归纳法的认识，到对不完全归纳法的可信度的认识，是如何结束的。 第二阶段是在对策的基础上商量，介绍递归思想之后，认识递归思想，使用递归思想，归纳到两个阶段结束。把回归思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然给理解数学归纳法的本质带来指导意义，也是在教学过程中挖掘、渗透教育内容中蕴藏的数学思想的一种尝试2 .教学方法在此采用了在人民教师指导下人民教师共同讨论和探索的方法。 目的是加强学生对教育过程的参与。 为了使这种参与有一定的智力水平，人民教师必须经常发动、组织、指导和指导。 学生的思考参与要从问题开始，尽快提出恰当的问题，提出思考要求，使学生尽快参加思考活动，这是非常重要的。 指导人民教师明确理解每堂课的课题，选择合适的问题，把课题的研究内容落在问题上，逐步开展，用学生学习的知识、方法解决，取得新的发展。