高中数学 考前归纳总结 立体几何中的探索问题（通用）

1、立体几何中的探索问题一、探索点的位置 例1.如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4， AD=2，E为PC的中点, 在线段AC上是否存在一点 M，使得PA/平面EDM，若存在，求出AM的长；若 不存在，请说明理由. 解：取AC中点M，连结EM、DM， 因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM/PA，又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA/平面EDM 所以即在AC边上存在一点M，使得PA/平面EDM，AM的长为. C1A1CB1ABD 例2.如图，三棱柱中，面， ，为的中点, （2）求二面角的余弦值； （3）在侧棱上是否存在点，使得A1AC1zx

2、yCB1BD ？请证明你的结论. 解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C1（0，0，0），B（0，3，2）， C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）， 设是面BDC1的一个法向量，则 即， 取，易知是面ABC的一个法向量. . 二面角C1BDC的余弦值为. （2）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP面BDC1. 设P（2，y，0）（0y3），则 ， 则，即. 解之方程组无解. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1. 二、探索结论的存在性例3.如图，已知三棱锥中，为中点，为的中点，且 （1）求证：； （2）找出三棱锥中一组面与面垂直的位 置关系，并给出证明（只需找到一组即

3、可） （1）证明：依题意 D为AB的中点，M为PB的中点 DM / PA 又, （2）平面PAC平面PBC (或平面PAB平面PBC) 证明：由已知AB2PD，又D为AB的中点 所以PDBD 又知M为PB的中点 ，由（1）知 DM / PA 又由已知，且 故 平面PAC平面PBC。 例4.已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位 置，都有BDAE？证明你的结论。 解： 不论点E在何位置，都有BDAE。 证明如下：连结AC，ABCD是正方形 BDAC PC底面ABCD 且平面 BDPC- 又 BD平面PAC 不论点E在何位置，都有AE平面PAC 不论点E在何位

4、置，都有BDAE 三、针对性练习1. 四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA= AB =1，AD =2， 点M是PB的中点，点N在BC边上移动 证明，无论N点在BC边上何处，都有PNAM. 证明：，是的中点，.又平面，平面，NEABCDPM.又， ，平面.又平面,.平面.又平面，. 所以无论点在边的何处， 都有. 2.在四棱锥中，底面是菱形，,在棱上是否存在点 （异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 解：不存在. 下面用反证法说明. 假设存在点（异于点）使得平面. 在菱形中， 因为 平面，平面， 所以 平面. 因为 平面，平面， ， 所以 平面平面.

5、而平面与平面相交，矛盾. 3. 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1，AC， AB2，BC1，D是棱CC1的中点, 在棱AB上是否存在一点E， 使DE平面AB1C1？证明你的结论； 解: 当点E为棱AB的中点时，DE平面AB1C1. 证明如下：取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. E、F分别为AB、BB1的中点， EFAB1. AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1. EFFDF，平面EFD平面AB1C1. DE平面EFD，DE平面AB1C1.SPDCBA 49741)如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边

6、长的倍，为侧棱上的点。（1）求证：； （2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点， 使得平面。若存在，求的值； 若不存在，试说明理由。解法一：（1）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是， 则 ， 故, 从而(2) 由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向 量，设所求二面角为，则, 所求二面角的大小为（3）在棱上存在一点使.由（2）知是平面的一个法 向量，且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故解法二：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中， ，所以,得. (2) 设正方形边长，则。 又，所以,连，由（）知,所以, 且,所以是二面