圆的极坐标方程16

1、圆的极坐标方程,曲线的极坐标方程,一、定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系 ()曲线上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； ()方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线上。 则曲线的方程是f(,)=0 。,探究,如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？,x,C(a,0),O,A,=2acos ,极坐标方程：,例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？, =r,你可以用极坐标方程直接来求吗？,练习,以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是,C,题组练习

2、2,（ ）,A、双曲线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆,D,（ ）,C,题组练习1,求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为2； ()中心在(a,0)，半径为a； ()中心在(a,/2)，半径为a； ()中心在(0,)，半径为r。,2,2acos ,2asin ,2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2,直线的极坐标方程,答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标与之间的关系，然后列出方程(,)=0 ，再化简并讨论。,怎样求曲线的极坐标方程？,例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意

3、的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,新课讲授,1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,四、负极径,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点M（，）负极径时的规定：,1.作射线OP，使XOP= ;,2.在OP的反向延长线上取一点M，使OM= ,1. 负极径的定义,2.负极径的实例,在极坐标系中画

4、出点 M（-3，/4）的位置.,解：1.作射线OP，使XOP= /4;,2.在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3.,四、负极径,3.关于负极径的思考,把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,四、负极径,“负极径”真是“负”的？,4.正、负极径时，点的确定过程比较,画出点（3，/4）和（-3，/4）.,四、负极径,点（3，/4）,点（-3，/4）,5.负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以说成旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。,四

5、、负极径,负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 . 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”.,特别强调：以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在极少数情况用。,练习：写出下列各点的负极径的极坐标。,答：（-3， + /4）（-3， - /4）,1.极径是正的时候：,2.极径用“-3”：,五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,探索点M（3， ）的所有极坐标,五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1.首先，给定极坐标M（，）在平面 上可以确定唯一的一点。,2.反过来，给定平面上一点，却有 无数个极坐标。,原因：极径有正有负；极角有无数个。但是，有统一表达式两个。,如果限定0,0

6、2,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,例题2、求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线L上除点A外的任意一点，连接OM,在 中有,即,可以验证，点A的坐标也满足上式。,求直线的极坐标方程步骤,1、根据题意画出草图；,2、设点 是直线上任意一点；,3、连接MO；,4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。,练习：设点P的极坐标为A ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接OM，,在 中有,即,显然A点也满足上方程。,例题3设点P的极坐标

7、为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。,则 由点P的极坐标知,由正弦定理得,显然点P的坐标也是它的解。,O,H,M,A,A、两条相交的直线,B、两条射线,C、一条直线,D、一条射线,( ),B,( ),C,( ),B,O,X,A,B,.小结： （）曲线的极坐标方程概念 （）怎样求曲线的极坐标方程 （3）圆的极坐标方程,2.直线的几种极坐标方程,1) 过极点,2) 过某个定点，且垂直于极轴,3) 过某个定点，且与极轴成一定 的角度,夯基自测,答案:x-y+1=0,答案:1,答案:6,4.(2014高考广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2=cos 和sin =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.,答案:(1,1),答案:,(2)设MN的中点为P,求直线OP的极