计算机图形学 第5章 三维图形生成和变换技术.ppt

1、1.第5章内容第5章三维图形生成和转换技术5.1三维图形的概念5.2自由曲面的生成5.3三维图形的转换5.4三维图形的裁剪和消隐2。第5章三维图形生成与变换技术，第5章三维图形的生成与变换技术5.1三维图形的概念5.2自由曲面的生成5.3三维图形的变换5.4三维图形的裁剪与消隐技术5.1三维图形的概念在第2章中，我们讨论了三个坐标系：世界坐标系、标准坐标系和设备坐标系。坐标系确定后，需要使用不同的绘图元素来描述图形，这些元素是点、线、曲线等基本图形元素。在计算机图形学的研究中，有几个三维图形的概念。1.它是由线框组成的三维图形，是最基本、最简单的。它实际上是在二维屏幕上显示的具有三维视觉效果的

2、图形；2.三维立体图形，充满各种颜色图案、纹理等。视觉上也有三维效果；3.三维图形借助光、影和阴影技术，产生真实的三维效果。这些三维图形是我们在计算机图形学中应该研究和实现的内容。3D图形的应用可以根据所处理的图形是真实对象还是新设计的对象类型来分类。我们可以近似地描述一个三维空间物体，并利用描述数据构造相应的三维图形。例如，立方体图形可以被描述为线框结构或平面集合，或者被描述为曲线和曲面表示，或者可以通过构造和变换生成新的图形和对象，以形成新的三维空间形状，这在计算机和计算机辅助设计中被广泛使用。例如，汽车和飞机的主体是通过各种拼接和排列的表面图形。直到达到某些设计指标。无论什么应用，三维图

3、形的描述都是在一个世界坐标系中描述的，然后映射到显示器或其他输出设备的二维坐标系中。5，第5章3D图形的生成和转换技术5.1 3D图形的概念5.2自由曲面的生成5.3 3D图形的转换5.4 3D图形的裁剪和消隐技术6。正是这些曲线网格用于近似表示自由曲面。因此，在生成曲面时，我们可以使用一系列交错且平行的样条曲线来构造曲面，如图所示。我们如何确定这个表面上任何一点的位置？显然，如果该点落在某条网格线上，例如图中的点A，那么该点的位置(坐标)可以根据该网格线的函数表示来计算；如果该点不在任何网格线上，如图5.1中的b点，则无法计算该点的准确位置，只能用最近网格线上的点近似表示。图5.1中曲面的网

4、格表示是，7，这使得原始近似曲面的精度在这一点上较低。因此，用这种方法生成曲面只适用于精度不高的场合。借助于曲面的解析表达式，我们可以推广平面自由曲线的生成方法，并处理相关的曲面问题。有许多种表面。为了便于讨论，曲面分为两类：(1)规则曲面，如圆柱、圆锥、椭球、环、双曲面、抛物面等。可以用参数方程来解析描述。(2)不规则曲面，如库恩曲面、贝塞尔曲面、B样条曲面等。是构造某个表面方程的问题，这也是下面将要讨论的焦点。空间曲面的参数表示三维空间中任意曲面的一个截面由两个参数曲面向量方程或参数方程表示，它们可以写成如下形式：U和V是参数，9。图中显示了曲面的图形，该曲面有两组参数曲线或坐标曲线，通常

5、简称为U线和V线。当u=ui时，生成公式(51)的上述公式是表面上的参数曲线r(ui，v)，即v线。当v=vj时，通过代入方程(51)得到，上述方程是另一个参数曲线r(u，vj)，或u线。互联系统实际上，曲面上相同点上的位置向量r (ui，VJ)、10、v、u、r (ui，v)、r (u，VJ)、r (ui，VJ)、r (VJ)也是通过使用u=ui、v=vj而不是(5l)、r(u，v)、12来获得的。例如，在图5.4中，如图5.4所示，通过沿着具有固定方向的直线的给定空间曲线r1 (u)移动来生成圆柱体，a，r1(u)，13，2，贝塞尔曲面如上所述，贝塞尔曲线是与控制多边形顶点位置有严格相关性

6、的曲线，其形状趋向于特征多边形形状，其顺序由控制多边形的顶点数决定。贝塞尔曲面是对贝塞尔曲线的扩展，它也以伯恩斯坦函数为基函数，可以构造一个由空间点阵列位置控制的曲面。，P0，P1，P2，P3，三次贝塞尔曲线的数学表达式，由四个数据点控制，14，1，三维空间中的贝塞尔曲面，给定空间点的(nl)(m 1)点到Pij(i=0，ln；J=0，1m)，称为纳米亚参数曲面：纳米亚贝塞尔曲面。Pij是控制顶点，和是伯恩斯坦基函数，具体表示为：15。如果用一系列直线段连接相邻的点Pi0、pi1pim (I=0，1n)和P0j、P1JPj(j=0，l，m)形成一个空间网格，该网络称为mn准双曲面特征网格，如图

7、所示。类似于贝塞尔曲线，P(u，v)的近似形状由特征网格构成。P(u，v)是特征网格的近似值。，P00，P10，P20，P31，P21，P11，P01，P32，P22，P12，P02，P33，P23，P13，P03，3 (l)端点位置，因为P00=p (0，0) P0m=p (0，1) Pn0=p (1，0) Pnm=p (1，1)，P00，P0m，Pn0和Pnm是曲面P(u，v)的四个端点，如图所示。0)、P(1，v)和P(u，1)分别是以P00p 01 p02pm 0、P00P10P20Pn0、Pn0Pn1 Pn2Pnm和P0mP1mP2mPnm为控制多边形的贝塞尔曲线，如图所示。18，(

8、3)通过计算可以很容易地知道端点的切面。三角形p00P10P01、P0nP1mP0、m-1、PnmPn-1、mPn、m-1和pn0pn-1(在图5.6中用斜三角形标记)的平面分别位于点P00、P0m和Pn0以及表面p (u，P，P，P)处、P00、p30、p03、p33、19、(4)凸面P(u，v)位于其控制顶点Pij(i=0，L，2n；J=0，1，2m)。(5)几何不变曲面P(u，v)的形状和位置与坐标系的选择无关，只与点P00、P01和Pnm的位置有关。20，3。几条低阶贝塞尔曲线(1)双一子贝塞尔曲面当n=m=1时，得到双一子贝塞尔曲面，并给出(n1)(m=1)=22=4个控制点：P00

9、，P01，P10，P11。21，其图形表示如图所示，可以证明它是双曲抛物面上的曲面(鞍形面)。22，在上式中，当u=0和u=1时，得到的两个边界是直线段；类似地，当v=0和v=1时，获得两条直线段。因此，双一次贝塞尔曲面被四条直线包围。23，(2)双二次贝塞尔曲面当n=m=2时，获得双二次贝塞尔曲面，给定(n1)(m 1)=33=9个控制点：P00，P01，P02，P10，P11，P12，P20，P21，P22。24，当u取一个固定值时，它是一条关于v的二次参数曲线，是一条抛物线；当v取一个固定值时，它是一条关于u的二次参数曲线。当u=0和u=1时，两个边界是抛物线段。同样，当v=0和v=1时

10、，另外两个边界是抛物线段。因此，双二次贝塞尔曲面被四个抛物线段包围。显然，中间顶点的变化对边界曲线没有影响，这意味着在周围八个点不变的情况下，可以通过适当选择中心顶点的位置来控制凹凸面。这种控制模式非常直观和简单。，26，(3)双三次贝塞尔曲线4，样条贝塞尔曲线，27，3，B样条曲面(略)，28，4，孔曲面孔曲面是孔在1964年提出的曲面构造方法。这种方法的基本思想是使任意的，29，1，混合函数的定义(1) Coons定义了四个一元三次函数Fo(u)，F1(u)，G0(u)和G1(u)，它们用来生成一个具有四条给定边界曲线的曲面。我们定义了四个三次函数，30，(2)在区间0，L中的混合函数的性

11、质，并构造了这样一条曲线来理解这四个混合函数的函数。当u=0时，P(0)=A0，切线向量P(0)在u0=b0u=1，P(1)A1和切线向量P(1)在ul=b1。显然，根据上述四个单变量三次函数F0(u)、F1 (u)、G0 (u)和G1 (u)的端点性质，我们可以很容易地得到31，从中我们可以看出，四个函数F0(u)、F1(u)、G0 (u)和G1 (u)都在P(u)中。正是由于F0(u)、F1(u)、G0(u)、G1(u)的上述函数，它们被用来定义双三次Coons曲面。库恩曲面有几种类型，其中双三次曲面是最实用的。几何建模计算中使用的Coons曲面都是双三次曲面。双三次coons曲面是在单位

12、面积R0中定义的双参数向量方程，并以向量形式表示。如果两个参数分别用u和v表示，空间曲面上的任意一点都可以用向量p表示，其组成形式如下：参数u和v的值域是单位面积R0上的值，即33，(1)Coons简明符号。在Coons符号中，参数u和v之间的逗号和向量分量之间的逗号被省略。当只讨论一个曲面时，向量函数P(u，v)前面的字母P和后面的括号一起被省略。符号U0、UL、0V和1V分别代表曲面的四条边界曲线，曲面的四个角点缩写为00、01、10和11，如图所示。、00、11、10、01、u0、u1、1v、0v、34。曲面偏转的标志是：哪里。0vu、1vu、u0v和u1v分别是0v、1v、u0和u1边

13、界上的斜率。00u、01u、10u和11u，它们是在四个角的u方向上的切向矢量；00v、01v、10v和11v。是四个角点上v方向的切向量；00uv、01uv、10uv和11uv是四个角的混合偏转，也称为扭转矢量。35，(Coons曲面的定义通过公式(52)，我们得到了四个混合函数的矩阵，它们表示如下：36，37。根据点运动生成线和线运动生成面的几何原理，将u和v作为两个独立的参数，得到一个coons双三次曲面，其数学表达式如下：其中c称为角信息矩阵。前三组信息可以完全确定四条边界曲线的形状，而第四组与四条边界曲线的形状无关，反映了R0内表面的形状变化。这里，角信息矩阵的C元素可以分成四组，其

14、中左上角表示四个角位置向量，右上角和左下角表示角方向V和U上的边界曲线的切线向量，右下角表示表示角扭转向量的四个角点的混合偏导数，38。可以看出，库恩曲面可以通过选择四条边界曲线得到，贝塞尔曲面可以通过给定几个控制点来构造，库恩曲面可以通过给定四条边界线来构造。第5章3D图形的生成和转换技术5.1 3D图形的概念5.2自由曲面的生成5.3 3D图形的转换5.4 3D图形的切割和消隐技术40、41、3D图形的几何转换以下描述3D图形的转换。为了清晰地表达三维空间点或三维位置，我们选择右手坐标系，即右手食指和中指分别指向X轴和Y轴。而拇指指向z轴的正方向，并且三个轴相互垂直。三维几何变换类似于二维

15、几何变换，不同的变换通过改变变换矩阵中不同元素的值来实现。42，1三维尺度变换尺度变换相对于原点的变换矩阵是利用主对角线上的元素A、E、I和S使空间立体产生局部或整体尺度变换。(l)局部尺度变换元素a、e和I在33子矩阵的主对角线上控制尺度变换，使其他元素为零，那么空间立体点(x、y、z)的尺度变换为：和43。因此，空间点的坐标分别根据比例因子a、e和I进行变换，这可以使整个图形向上或向下缩放。当aei1时，图不变，是一个恒等式变换；当aei1时，图形被放大；当aej1时，图形收缩；当使用aei时，三维的尺度是不同的，然后三维会有相似的变化。44，45，(2)满标度变换满标度变换矩阵如下：可以

16、看出，当s1时，三维标度的所有方向将相等地减小；当0s1配对时，立体声的所有方向以相等的比例放大。三维翻译交换翻译转换是使一个实体在空间中平移一定的距离，而其形状和大小保持不变。变换矩阵为：l，M，n M和N分别是沿X，Y和Z轴的平移量，立体平移方向由它们的正负值决定。47，示例5.3让l3，m=3，n3在变换矩阵中，并尝试转换单位立体。48，3三维空间中最简单的对称变换是相对于坐标平面对称的变换。当空间中的一个点对称变换到XOY坐标平面时，该点的(x，y)坐标不变，只有Z的符号改变。因此，转换矩阵如下：转换结果如图所示。图5.20 XOY平面的对称变换，49。同样，XOZ坐标的对称变换矩阵和YOZ坐标平面的对称变换