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文档简介

1、分数和几个结论的证明及应用在国内外各级数学竞赛中，证明与分数和有关的不等式经常会遇到一些问题。本文总结了分数和的一些一般性结论。为了便于结论的证明，我们首先合理地扩展了矢量积的概念：1.矢量积概念的推广对于平面矢量=(a，b)=(c，d)，与的乘积数是= cos=AC BD，它是和之间的角度，其范围是0。至于三维空间矢量=(a，b，c)=(d，e，f)，它们的量积是= cos=ad be cf，它是与的夹角，其范围是0。 ，是向量和的模： =，=。向量数量积的概念可以推广到n维欧氏空间：让=(x，x，x)，=(y，y，y)。与的角度为，范围为0。将总和的数量乘积定义为= cos=xy xy x

2、y。. ，是向量和的模： =，.如果 0时，。证据：让=(，)，=(，)，与的夹角为(0)。然后=+=x+x+ + x=cos=cosn(x+x+x)=(1+1+1)(x+x+x)(x+x+x)， (x+x+x)=，如果且仅当x=x=x ( 0)相等，那么它是在同一个方向，即=0，cos=1。A科斯=+ +=.例1已知正数x，y和z满足x，y，z=1，并证明。证明：n=3，A=1，k=1 来自结论1，=。结论2已知x，x，x是满足x x=a的非负实数，和k 0，1-kx 0 (I=1，2，n)，。证据：让=(，)，=(，)，与的夹角为(0)。然后=x x.x=cos=cos因为(x x.x(1

3、)1.1)=(x x.x) n(x+x+x)因此，(x x x) =所以A cos，那儿有.=。例2已知x，y，z和z是满足x，y，z=1的正实数，并证明了。证明：n=3，A=1，k=1，来自结论2, =。例3已知非负实数a (I=1，2，3，n)满足a a a=1。寻求的最小值.(第23届国际海事组织考试试题)。解决方法：将原来的问题转化为求的最小值。因为.=(.)，A=1，k=1，所以从结论2，有.=，从而.=(.)=.实施例4已知a 0 (I=1，2，3，n)满足a a.a=s，证据：。证明：原来的不等式可以转化为证明下面的不等式：(1+)+(1+)+(1+).也就是说，-n=。(这个变

4、体是1979年英国数学竞赛的测试)因为.=(.)，a=s，k=，所以 =，因此.=(.)=，然后(1 ) (1).(1 ) 。也就是说，。结论3已知x，x，x是满足x x=a的非负实数，和1 kx 0 (I=1，2，n)，那么.。证明：让=(，)，=(，)，与的夹角为(00)。然后=.=x+x + + x=cos，也就是说，A所以.。例5:已知正数x，y和z满足x，y，z=1，并证明：。证明：因为a=1，k=-1，n=3，所以结论3中有=个。结论4如果非负实数x，x，x满足x x x=a，并且1-x 0 (I=1，2，n)，则 。证据：让=(，)，=(，)，与的夹角为(0)。然后=.=x.x=cosx+x+x =,x+ x +x+

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